ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1450 Алимов — Подробные Ответы

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

Пусть $x$ — первый член геометрической прогрессии, $q$ — знаменатель геометрической прогрессии и $d$ — разность арифметической прогрессии, тогда:

$$a_1 = b_5 = xq^4;$$ $$a_2 = b_8 = xq^7;$$ $$a_{10} = b_{11} = xq^{10};$$ $$d = a_2 — a_1 = xq^7 — xq^4;$$

Десятый член арифметической прогрессии:

$$a_{10} = a_1 + 9d;$$ $$xq^{10} = xq^4 + 9(xq^7 — xq^4);$$ $$xq^{10} = xq^4 + 9xq^7 — 9xq^4;$$ $$xq^{10} — 9xq^7 + 8xq^4 = 0 \quad | : xq^4;$$ $$q^6 — 9q^3 + 8 = 0;$$

Пусть $y = q^3$, тогда:

$$y^2 — 9y + 8 = 0;$$ $$D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;$$ $$q_1 = \sqrt[3]{1} = 1 \quad \text{и} \quad q_2 = \sqrt[3]{8} = 2;$$

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии:

$$S_5 = \frac{x(q^5 — 1)}{q — 1} = 62;$$ $$x(q^5 — 1) = 62(q — 1);$$ $$x = \frac{62(q — 1)}{q^5 — 1};$$ $$x_2 = \frac{62(2 — 1)}{(2^5 — 1)} = \frac{62}{32 — 1} = \frac{62}{31} = 2;$$

В случае, когда $q = 1$, все числа одинаковые, значит:

$$S_5 = 5x_1 = 62, \text{ отсюда } x_1 = 12,4;$$

Ответ: $12,4$ или $2$.

1. Ввод исходных обозначений

По условию
$b_5,\;b_8,\;b_{11}$ одновременно являются $a_1,\;a_2,\;a_{10}$ арифметической прогрессии.

2. Явные формулы для нужных членов геометрии

$$\begin{aligned} b_5 &= xq^{4},\\ b_8 &= xq^{7},\\ b_{11}&= xq^{10}. \end{aligned}$$

3. Переписываем их как члены арифметики

$$a_1 = xq^{4}, \qquad a_2 = xq^{7}, \qquad a_{10}=xq^{10}.$$

4. Находим разность арифметической прогрессии

$$d = a_2 — a_1 = xq^{7} — xq^{4}=xq^{4}(q^{3}-1).$$

5. Согласовываем десятый член арифметической прогрессии

Формула $n$-го члена арифметики: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для $n=10$:

$$a_{10}=a_1+9d \quad\Longrightarrow\quad xq^{10}=xq^{4}+9\bigl[xq^{4}(q^{3}-1)\bigr].$$

6. Переходим к уравнению только для $q$

1. Выносим общий множитель $xq^{4}\neq0$:

   $$xq^{4}\bigl(q^{6}-9q^{3}+8\bigr)=0.$$

2. Делим на $xq^{4}$:

   $$q^{6}-9q^{3}+8=0.$$

3. Заменяем $y=q^{3}$ (так называемая «понижающая замена»):

   $$y^{2}-9y+8=0.$$

4. Решаем квадратное уравнение:

   $$D=9^{2}-4\cdot8=81-32=49,\qquad y_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{49}}{2} =\frac{9\pm7}{2}\;\Longrightarrow\; y_{1}=1,\;y_{2}=8.$$

7. Возвращаемся к $q$

$$q^{3}=1 \;\Longrightarrow\; q=1, \qquad q^{3}=8 \;\Longrightarrow\; q=2.$$

Другие действительные знач-ния отсутствуют.

8. Используем условие о сумме пяти первых членов

8.1. Общая формула суммы $S_5$

По условию $S_{5}=62$.

8.2. Случай A — $q=1$

$$5x=62 \;\Longrightarrow\; x=\frac{62}{5}=12{,}4.$$

Проверка:
все члены равны $12{,}4$; суммы $S_5=62$ и условие о членах арифметики (все равны → $d=0$) выполняются.

8.3. Случай B — $q=2$

$$\begin{aligned} S_{5} &= x\frac{2^{5}-1}{2-1}=x\,(32-1)=31x,\\ 31x &= 62 \;\Longrightarrow\; x=\frac{62}{31}=2. \end{aligned}$$

Проверка:

Разность арифметики:
$d=256-32=224$.
Контроль: $32+9\cdot224=32+2016=2048$ — совпадает с $b_{11}$.

9. Итоговые значения первого члена геометрической прогрессии

$$\boxed{\;x=12{,}4\;} \quad\text{(если }q=1\text{),}\qquad \boxed{\;x=2\;} \quad\text{(если }q=2\text{).}$$

Ответ: $12{,}4$ или $2$.