ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 980 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки экстремума функции у = (x2-3x+2)/(x2+3x+2).

Функция:

$$y = \frac{x^2 — 3x + 2}{x^2 + 3x + 2};$$

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{(x^2 — 3x + 2)’ \cdot (x^2 + 3x + 2) — (x^2 — 3x + 2) \cdot (x^2 + 3x + 2)’}{(x^2 + 3x + 2)^2};$$ $$y'(x) = \frac{(2x — 3) \cdot (x^2 + 3x + 2) — (x^2 — 3x + 2) \cdot (2x + 3)}{(x^2 + 3x + 2)^2};$$ $$y'(x) = \frac{2x^3 + 6x^2 + 4x — 3x^2 — 9x — 6 — 2x^3 — 3x^2 + 6x^2 + 9x — 4x — 6}{(x^2 + 3x + 2)^2};$$ $$y'(x) = \frac{6x^2 — 12}{(x^2 + 3x + 2)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$6x^2 — 12 > 0;$$ $$x^2 — 2 > 0;$$ $$x^2 > 2;$$ $$x < -\sqrt{2} \text{ или } x > \sqrt{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 + 3x + 2 \neq 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2 \text{ и } x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1;$$

Ответ: $x = \sqrt{2}$ — точка минимума;

$x = -\sqrt{2}$ — точка максимума.

Функция:

$$y = \frac{x^2 — 3x + 2}{x^2 + 3x + 2}.$$

Нужно найти производную функции, решить неравенства для промежутков возрастания и убывания, а также найти точки минимума и максимума.

Шаг 1. Нахождение производной функции

Используем правило дифференцирования для дробей (правило частного). Для функции вида:

$$y = \frac{u(x)}{v(x)},$$

где $u(x) = x^2 — 3x + 2$ и $v(x) = x^2 + 3x + 2$, производная вычисляется по формуле:

$$y'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}.$$

Найдём производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$$u(x) = x^2 — 3x + 2 \quad \Rightarrow \quad u'(x) = 2x — 3$$ $$v(x) = x^2 + 3x + 2 \quad \Rightarrow \quad v'(x) = 2x + 3$$

Подставляем производные в формулу:

$$y'(x) = \frac{(2x — 3) \cdot (x^2 + 3x + 2) — (x^2 — 3x + 2) \cdot (2x + 3)}{(x^2 + 3x + 2)^2}$$

Шаг 2. Упрощение числителя

Теперь нужно раскрыть скобки и упростить числитель.

Раскроем первое произведение:

$$(2x — 3) \cdot (x^2 + 3x + 2) = 2x(x^2 + 3x + 2) — 3(x^2 + 3x + 2)$$ $$= 2x^3 + 6x^2 + 4x — 3x^2 — 9x — 6$$ $$= 2x^3 + (6x^2 — 3x^2) + (4x — 9x) — 6$$ $$= 2x^3 + 3x^2 — 5x — 6$$

Раскроем второе произведение:

$$(x^2 — 3x + 2) \cdot (2x + 3) = x^2(2x + 3) — 3x(2x + 3) + 2(2x + 3)$$ $$= 2x^3 + 3x^2 — 6x^2 — 9x + 4x + 6$$ $$= 2x^3 + (3x^2 — 6x^2) + (-9x + 4x) + 6$$ $$= 2x^3 — 3x^2 — 5x + 6$$

Теперь вычитаем второе выражение из первого:

$$(2x^3 + 3x^2 — 5x — 6) — (2x^3 — 3x^2 — 5x + 6)$$ $$= 2x^3 — 2x^3 + 3x^2 — (-3x^2) — 5x — (-5x) — 6 — 6$$ $$= 6x^2 — 12$$

Таким образом, числитель производной упрощается до:

$$y'(x) = \frac{6x^2 — 12}{(x^2 + 3x + 2)^2}.$$

Шаг 3. Промежутки возрастания и убывания

Теперь найдём, при каких значениях $x$ производная $y'(x)$ положительна (функция возрастает) или отрицательна (функция убывает).

Для этого нужно решить неравенство для числителя:

$$6x^2 — 12 > 0$$

Упростим неравенство:

$$6(x^2 — 2) > 0$$ $$x^2 — 2 > 0$$ $$x^2 > 2$$ $$x < -\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{2}.$$

То есть, функция возрастает, когда $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$.

Шаг 4. Выражение имеет смысл при

Чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен быть равен нулю. То есть:

$$x^2 + 3x + 2 \neq 0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 + 3x + 2 = 0.$$

Используем дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1.$$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \neq -2$ и $x \neq -1$.

Шаг 5. Точки минимума и максимума

Точки минимума и максимума находятся в точках, где производная равна нулю, то есть:

$$y'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x^2 — 12 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$6(x^2 — 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2}.$$

Таким образом, $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$ — это критические точки.

Чтобы определить, какая из этих точек является минимумом, а какая — максимумом, используем анализ знаков производной:

• Если $x > \sqrt{2}$, то $y'(x) > 0$, функция возрастает.
• Если $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$, то $y'(x) < 0$, функция убывает.
• Если $x < -\sqrt{2}$, то $y'(x) > 0$, функция возрастает.

Таким образом:

• $x = \sqrt{2}$ — точка минимума (функция меняет знак с убывания на возрастание).
• $x = -\sqrt{2}$ — точка максимума (функция меняет знак с возрастания на убывание).

Ответ:

• $x = \sqrt{2}$ — точка минимума.
• $x = -\sqrt{2}$ — точка максимума.