ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 589 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (589—592).

1. sinx= корень 3/2;
2. sinx= корень 2/2.

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$.

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$;

$x = (-1)^n \cdot \left(-\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Задача 1: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Нам нужно найти все значения $x$, для которых $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 1: Найдем основной корень.

Для того чтобы решить уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, сначала найдем основное значение угла, для которого синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это один из стандартных углов, который мы можем запомнить из тригонометрии.

Следовательно, основное решение для $x$ — это:

$$x_1 = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 2: Используем периодичность функции синуса.

Функция синуса имеет период $2\pi$, то есть $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$ для любого целого числа $k$. Таким образом, мы можем добавить к основному решению $2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Кроме того, синус — это периодическая функция, которая принимает одинаковые значения для углов, симметричных относительно оси $x = 0$. То есть, для значения $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ есть также решение в 2-й и 3-й четверти: $x_2 = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Но, поскольку синус функции симметричен, для всех этих углов можно использовать общее выражение, которое включает обе возможные симметричные позиции.

Таким образом, общее решение для $x$ будет:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n,$$

где $n$ — любое целое число.

Ответ:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Задача 2: $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 1: Найдем основной корень.

Из известных значений синуса мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Это стандартное значение, которое мы также можем запомнить.

Следовательно, основное решение для $x$ — это:

$$x_1 = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2: Используем периодичность функции синуса.

Поскольку синус имеет период $2\pi$, добавляем $2\pi n$ к основному решению, где $n$ — любое целое число.

Синус функции также принимает одинаковые значения в двух симметричных точках относительно оси $x = 0$: в 1-й и 2-й четверти для положительных значений. Второе решение будет:

$$x_2 = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.$$

Таким образом, общее решение для $x$ будет:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n,$$

где $n$ — любое целое число.

Ответ:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Задача 3: $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь решим уравнение $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Шаг 1: Найдем основной корень.

Значение $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ является отрицательным, и его можно представить как:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Это стандартное значение, так как синус отрицателен в 3-й и 4-й четвертях.

Следовательно, основное решение для $x$ будет:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2: Используем периодичность функции синуса.

Синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, то есть:

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Но для всех решений синуса мы также можем учитывать симметрию синуса относительно оси $x = 0$, что в данном случае приведет к аналогичному решению:

$$x_2 = \frac{\pi}{4}.$$

Однако знак меняется для этих решений, и итоговое решение будет:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Ответ:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Итоговые ответы:

1. $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$.
2. $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
   Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$.
3. $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
   Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$.