ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 994 Алимов — Подробные Ответы

1. (2×4+4×3+x)/3;
2. (6×3-3x+2)/5;
3. (1+2x)(x-3);
4. (2x-3)(2+3x).

1) $f(x) = \frac{2x^4 — 4x^3 + x}{3}$;

$F(x) = \frac{1}{3} \cdot \left( 2 \cdot \frac{x^5}{5} — 4 \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{5} x^5 — x^4 + \frac{1}{2} x^2 \right) + C;$

2) $f(x) = \frac{6x^3 — 3x + 2}{5}$;

$F(x) = \frac{1}{5} \cdot \left( 6 \cdot \frac{x^4}{4} — 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 2 \cdot \frac{x^1}{1} \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{3}{2} x^4 — \frac{3}{2} x^2 + 2x \right) + C;$

3) $f(x) = (1 + 2x)(x — 3) = x — 3 + 2x^2 — 6x = 2x^2 — 5x — 3$;

$F(x) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} — 5 \cdot \frac{x^2}{2} — 3 \cdot \frac{x^1}{1} = \frac{2}{3} x^3 — \frac{5}{2} x^2 — 3x + C;$

4) $f(x) = (2x — 3)(2 + 3x) = 4x + 6x^2 — 6 — 9x = 6x^2 — 5x — 6$;

$F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} — 5 \cdot \frac{x^2}{2} — 6 \cdot \frac{x^1}{1} = 2x^3 — \frac{5}{2} x^2 — 6x + C;$

1) Задача 1:

Дано:
$f(x) = \frac{2x^4 — 4x^3 + x}{3}$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Разделим функцию на части:

$f(x) = \frac{1}{3}(2x^4 — 4x^3 + x) = \frac{1}{3} \cdot 2x^4 — \frac{1}{3} \cdot 4x^3 + \frac{1}{3} \cdot x.$

Теперь будем интегрировать каждое слагаемое отдельно.

Интегрируем $\frac{2x^4}{3}$:

Используем правило интегрирования для степенной функции $x^n$, которое гласит, что интеграл от $x^n$ равен $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$$\int \frac{2x^4}{3} \, dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{2}{15} x^5.$$

Интегрируем $\frac{-4x^3}{3}$:

По тому же правилу:

$$\int \frac{-4x^3}{3} \, dx = \frac{-4}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{-4}{12} x^4 = \frac{-1}{3} x^4.$$

Интегрируем $\frac{x}{3}$:

По тому же правилу:

$$\int \frac{x}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{1}{6} x^2.$$

Объединяем результаты:

Теперь, комбинируем все результаты:

$$F(x) = \frac{2}{15} x^5 — \frac{1}{3} x^4 + \frac{1}{6} x^2 + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{15} x^5 — \frac{1}{3} x^4 + \frac{1}{6} x^2 + C$.

2) Задача 2:

Дано:
$f(x) = \frac{6x^3 — 3x + 2}{5}$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Разделим функцию на части:

$f(x) = \frac{1}{5}(6x^3 — 3x + 2) = \frac{1}{5} \cdot 6x^3 — \frac{1}{5} \cdot 3x + \frac{1}{5} \cdot 2.$

Теперь будем интегрировать каждое слагаемое отдельно.

Интегрируем $\frac{6x^3}{5}$:

Используем стандартное правило интегрирования степенной функции $x^n$:

$$\int \frac{6x^3}{5} \, dx = \frac{6}{5} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{6}{20} x^4 = \frac{3}{10} x^4.$$

Интегрируем $\frac{-3x}{5}$:

По тому же правилу:

$$\int \frac{-3x}{5} \, dx = \frac{-3}{5} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{-3}{10} x^2.$$

Интегрируем $\frac{2}{5}$:

Интеграл от константы $a$ равен $a \cdot x$:

$$\int \frac{2}{5} \, dx = \frac{2}{5} \cdot x.$$

Объединяем результаты:

Теперь, комбинируем все результаты:

$$F(x) = \frac{3}{10} x^4 — \frac{3}{10} x^2 + \frac{2}{5} x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{10} x^4 — \frac{3}{10} x^2 + \frac{2}{5} x + C$.

3) Задача 3:

Дано:
$f(x) = (1 + 2x)(x — 3) = x — 3 + 2x^2 — 6x = 2x^2 — 5x — 3$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $2x^2$:

Используем правило интегрирования для степенной функции $x^n$:

$$\int 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3} x^3.$$

Интегрируем $-5x$:

По тому же правилу:

$$\int -5x \, dx = -5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{-5}{2} x^2.$$

Интегрируем $-3$:

Интеграл от константы $a$ равен $a \cdot x$:

$$\int -3 \, dx = -3x.$$

Объединяем результаты:

Теперь, комбинируем все результаты:

$$F(x) = \frac{2}{3} x^3 — \frac{5}{2} x^2 — 3x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3} x^3 — \frac{5}{2} x^2 — 3x + C$.

4) Задача 4:

Дано:
$f(x) = (2x — 3)(2 + 3x) = 4x + 6x^2 — 6 — 9x = 6x^2 — 5x — 6$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $6x^2$:

Используем правило интегрирования для степенной функции $x^n$:

$$\int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3.$$

Интегрируем $-5x$:

По тому же правилу:

$$\int -5x \, dx = -5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{-5}{2} x^2.$$

Интегрируем $-6$:

Интеграл от константы $a$ равен $a \cdot x$:

$$\int -6 \, dx = -6x.$$

Объединяем результаты:

Теперь, комбинируем все результаты:

$$F(x) = 2x^3 — \frac{5}{2} x^2 — 6x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 2x^3 — \frac{5}{2} x^2 — 6x + C$.