ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 996 Алимов — Подробные Ответы

1. sin x cos x;
2. sin x cos 3x — cos x sin Зx.

1. $f(x) = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$;
   $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \cos 2x = -\frac{1}{4} \cos 2x + C$;
2. $f(x) = \sin x \cdot \cos 3x — \cos x \cdot \sin 3x = \sin (x — 3x) = -\sin 2x$;
   $F(x) = -1 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \cos 2x$

1) Задача 1:

Дано:
$f(x) = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем тригонометрическое тождество:

Для упрощения функции воспользуемся тригонометрическим тождеством:

$$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x.$$

Это стандартное тождество, которое преобразует произведение синуса и косинуса в синус с удвоенным аргументом.

Интегрируем $\frac{1}{2} \sin 2x$:

Теперь, чтобы найти первообразную функции $f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x$, используем стандартное правило для интегрирования тригонометрической функции $\sin(ax)$, где $a$ — константа.

Интеграл от $\sin(ax)$ равен $-\frac{1}{a} \cos(ax)$.

Здесь $a = 2$, поэтому интегрируем:

$$\int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) = -\frac{1}{4} \cos 2x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = -\frac{1}{4} \cos 2x + C.$$

2) Задача 2:

Дано:
$f(x) = \sin x \cdot \cos 3x — \cos x \cdot \sin 3x = \sin (x — 3x) = -\sin 2x$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем тригонометрическое тождество:

Сначала упростим выражение $f(x)$ с помощью тригонометрического тождества. Заметим, что:

$$\sin x \cdot \cos 3x — \cos x \cdot \sin 3x = \sin(x — 3x) = \sin(-2x) = -\sin 2x.$$

Интегрируем $-\sin 2x$:

Теперь, чтобы найти первообразную для функции $f(x) = -\sin 2x$, используем стандартное правило для интегрирования функции $\sin(ax)$, где $a$ — константа.

Интеграл от $\sin(ax)$ равен $-\frac{1}{a} \cos(ax)$.

Здесь $a = 2$, поэтому интегрируем:

$$\int -\sin 2x \, dx = -\left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) = \frac{1}{2} \cos 2x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = \frac{1}{2} \cos 2x + C.$$$F(x) = \frac{1}{2} \cos 2x + C$