ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 849 Алимов — Подробные Ответы

1) $f(x) = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$;

$f'(x) = \frac{(1 + \cos x)’ \cdot \sin x — (1 + \cos x) \cdot (\sin x)’}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = \frac{(0 — \sin x) \cdot \sin x — (1 + \cos x) \cdot \cos x}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = \frac{-\sin^2 x — \cos x — \cos^2 x}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x) + \cos x}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = -\frac{1 + \cos x}{\sin^2 x}$;

2) $f(x) = \frac{\sqrt{3x}}{3^x + 1}$;

$f'(x) = \frac{(\sqrt{3x})’ \cdot (3^x + 1) — \sqrt{3x} \cdot (3^x + 1)’}{(3^x + 1)^2}$;

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (3^x + 1) — \sqrt{3x} \cdot (3^x \cdot \ln 3 + 0)}{(3^x + 1)^2}$;

$f'(x) = \frac{\frac{3 \cdot (3^x + 1)}{2 \sqrt{3x}} — \sqrt{3x} \cdot 3^x \cdot \ln 3}{(3^x + 1)^2}$;

$f'(x) = \frac{3 \cdot (3^x + 1) — 2 \cdot 3x \cdot 3^x \cdot \ln 3}{2 \sqrt{3x} \cdot (3^x + 1)^2}$;

$f'(x) = \frac{\sqrt{3} \cdot (3^x + 1) — 2x \sqrt{3} \cdot 3^x \cdot \ln 3}{2 \sqrt{x} \cdot (3^x + 1)^2}$;

3) $f(x) = \frac{e^{0.5x}}{\cos 2x — 5}$;

$f'(x) = \frac{(e^{0.5x})’ \cdot (\cos 2x — 5) — e^{0.5x} \cdot (\cos 2x — 5)’}{(\cos 2x — 5)^2}$;

$f'(x) = \frac{0.5 \cdot e^{0.5x} \cdot (\cos 2x — 5) — e^{0.5x} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2}{(\cos 2x — 5)^2}$;

$f'(x) = \frac{0.5 \cdot e^{0.5x} \cdot (\cos 2x — 5 + 4 \sin 2x)}{(\cos 2x — 5)^2}$;

4) $f(x) = \frac{5^{2x}}{\sin 3x + 7}$;

$f'(x) = \frac{(5^{2x})’ \cdot (\sin 3x + 7) — 5^{2x} \cdot (\sin 3x + 7)’}{(\sin 3x + 7)^2}$;

$f'(x) = \frac{2 \cdot 5^{2x} \cdot \ln 5 \cdot (\sin 3x + 7) — 5^{2x} \cdot 3 \cos 3x}{(\sin 3x + 7)^2}$;

$f'(x) = \frac{5^{2x} \cdot (2 \ln 5 \cdot \sin 3x + 14 \ln 5 — 3 \cos 3x)}{(\sin 3x + 7)^2}$

1) $f(x) = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$

Шаг 1: Определение вспомогательных функций

Функция $f(x)$ представляет собой дробь. Для нахождения производной используем правило дифференцирования дроби. Если функция представлена в виде:

$$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$$

то её производная по правилу дроби вычисляется так:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2}$$

В нашем случае:

• $g(x) = 1 + \cos x$
• $h(x) = \sin x$

Шаг 2: Вычисление производных

1. $g'(x) = (1 + \cos x)’ = 0 — \sin x = -\sin x$
2. $h'(x) = (\sin x)’ = \cos x$

Шаг 3: Применение правила дроби

Теперь подставим вычисленные производные в формулу для $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{(-\sin x) \cdot \sin x — (1 + \cos x) \cdot \cos x}{\sin^2 x}$$

Шаг 4: Упрощение выражения

Раскроем скобки в числителе:

$$f'(x) = \frac{-\sin^2 x — \cos x \cdot \sin x — \cos^2 x}{\sin^2 x}$$

Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, чтобы упростить числитель:

$$f'(x) = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x) — \cos x \cdot \sin x}{\sin^2 x} = \frac{-1 — \cos x \cdot \sin x}{\sin^2 x}$$

Теперь получаем окончательную форму производной:

$$f'(x) = -\frac{1 + \cos x}{\sin^2 x}$$

2) $f(x) = \frac{\sqrt{3x}}{3^x + 1}$

Шаг 1: Определение вспомогательных функций

Для применения правила дифференцирования дроби снова используем стандартную формулу:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2}$$

где:

• $g(x) = \sqrt{3x}$
• $h(x) = 3^x + 1$

Шаг 2: Вычисление производных

1. $g'(x) = \left( \sqrt{3x} \right)’ = \frac{1}{2} \cdot (3x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2 \sqrt{3x}}$
2. $h'(x) = (3^x + 1)’ = 3^x \ln 3$

Шаг 3: Применение правила дроби

Теперь подставим эти производные в формулу для $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{\left( \frac{3}{2 \sqrt{3x}} \right) \cdot (3^x + 1) — \sqrt{3x} \cdot 3^x \ln 3}{(3^x + 1)^2}$$

Шаг 4: Упрощение выражения

Приводим выражение к удобному виду:

$$f'(x) = \frac{\frac{3 \cdot (3^x + 1)}{2 \sqrt{3x}} — \sqrt{3x} \cdot 3^x \ln 3}{(3^x + 1)^2}$$

Для дальнейшего упрощения умножим и разделим на $\sqrt{x}$ в числителе:

$$f'(x) = \frac{\sqrt{3} \cdot (3^x + 1) — 2x \sqrt{3} \cdot 3^x \ln 3}{2 \sqrt{x} \cdot (3^x + 1)^2}$$

Это и есть окончательная производная.

3) $f(x) = \frac{e^{0.5x}}{\cos 2x — 5}$

Шаг 1: Определение вспомогательных функций

Для применения правила дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2}$$

где:

• $g(x) = e^{0.5x}$
• $h(x) = \cos 2x — 5$

Шаг 2: Вычисление производных

1. $g'(x) = (e^{0.5x})’ = 0.5 e^{0.5x}$
2. $h'(x) = (\cos 2x — 5)’ = -2 \sin 2x$

Шаг 3: Применение правила дроби

Подставляем вычисленные производные в формулу:

$$f'(x) = \frac{0.5 e^{0.5x} \cdot (\cos 2x — 5) — e^{0.5x} \cdot (-2 \sin 2x)}{(\cos 2x — 5)^2}$$

Шаг 4: Упрощение выражения

Теперь упрощаем числитель:

$$f'(x) = \frac{0.5 e^{0.5x} \cdot (\cos 2x — 5) + 2 e^{0.5x} \sin 2x}{(\cos 2x — 5)^2}$$

И окончательная форма производной:

$$f'(x) = \frac{0.5 e^{0.5x} \cdot (\cos 2x — 5 + 4 \sin 2x)}{(\cos 2x — 5)^2}$$

4) $f(x) = \frac{5^{2x}}{\sin 3x + 7}$

Шаг 1: Определение вспомогательных функций

Для применения правила дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2}$$

где:

• $g(x) = 5^{2x}$
• $h(x) = \sin 3x + 7$

Шаг 2: Вычисление производных

1. $g'(x) = (5^{2x})’ = 2 \cdot 5^{2x} \cdot \ln 5$
2. $h'(x) = (\sin 3x + 7)’ = 3 \cos 3x$

Шаг 3: Применение правила дроби

Подставляем вычисленные производные:

$$f'(x) = \frac{2 \cdot 5^{2x} \cdot \ln 5 \cdot (\sin 3x + 7) — 5^{2x} \cdot 3 \cos 3x}{(\sin 3x + 7)^2}$$

Шаг 4: Упрощение выражения

Приводим числитель к более удобному виду:

$$f'(x) = \frac{5^{2x} \cdot \left( 2 \ln 5 \cdot \sin 3x + 14 \ln 5 — 3 \cos 3x \right)}{(\sin 3x + 7)^2}$$

И это окончательная форма производной.

Итоговые ответы:

1. $f'(x) = -\frac{1 + \cos x}{\sin^2 x}$
2. $f'(x) = \frac{\sqrt{3} \cdot (3^x + 1) — 2x \sqrt{3} \cdot 3^x \cdot \ln 3}{2 \sqrt{x} \cdot (3^x + 1)^2}$
3. $f'(x) = \frac{0.5 e^{0.5x} \cdot (\cos 2x — 5 + 4 \sin 2x)}{(\cos 2x — 5)^2}$
4. $f'(x) = \frac{5^{2x} \cdot \left( 2 \ln 5 \cdot \sin 3x + 14 \ln 5 — 3 \cos 3x \right)}{(\sin 3x + 7)^2}$