ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 773 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции:

1. y=2sin(x/2+пи/3)-2;
2. y=cosx- корень cos2x.

Задача 1: $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Область значений:

$$-1 \leq \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) \leq 1;$$ $$-2 \leq 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) \leq 2;$$ $$-4 \leq 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2 \leq 0;$$ $$E(y) = [-4; 0];$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$2 \sin \left( \frac{x + T}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2 = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2;$$ $$2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{T}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right);$$ $$\frac{T}{2} = 2\pi;$$ $$T = 2 \cdot 2\pi = 4\pi;$$

г) Функция ни четная, ни нечетная:

$$y(-x) = 2 \sin \left( -\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2;$$

д) Нули функции:

$$2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2 = 0;$$ $$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 1;$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{3} + 4\pi n;$$

е) Максимальные значения:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

ж) Минимальные значения:

$$2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2 = -4;$$ $$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = -1;$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x=2\cdot (-\frac{5\pi }{6}+2\pi n)=-\frac{5\pi }{3}+4\pi n$$

$$x = 2 \cdot \left( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = -\frac{5\pi}{3} + 4\pi n;$$

Задача 2: $y = \cos x — \sqrt{\cos^2 x} = \cos x — |\cos x|$

а) Если $\cos x \geq 0$, тогда:

$$y = \cos x — \cos x = 0;$$

Область определения:

$$\cos x \geq 0;$$ $$-\arccos 0 + 2\pi n \leq x \leq \arccos 0 + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

б) Если $\cos x < 0$, тогда:

$$y = \cos x + \cos x = 2 \cos x;$$

Область определения:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Область значений:

$$-1 \leq \cos x \leq 0;$$ $$-2 \leq 2 \cos x \leq 0;$$ $$E(y) = [-2; 0];$$

Нули функции:

$$2 \cos x = 0;$$ $$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Минимальные значения:

$$2 \cos x = -2;$$ $$\cos x = -1;$$ $$x=\pi -\arccos 0+2\pi n=\pi +2\pi n;$$

$$x = \pi — \arccos 0 + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$

Дополнительное преобразование:

$$y = -\sin^2 x — \sin x — \frac{1}{4} + \frac{5}{4};$$ $$y = -\left( \sin^2 x + 2 \cdot \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{4} \right) + \frac{5}{4};$$ $$y = -\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{4};$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-\frac{1}{2} \leq \sin x + \frac{1}{2} \leq \frac{3}{2};$$ $$0 \leq \left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 \leq \frac{9}{4};$$ $$-\frac{9}{4} \leq -\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 \leq 0;$$ $$-1 \leq -\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{4} \leq \frac{5}{4};$$

Ответ:

$$E(y) = \left[ -1; \frac{5}{4} \right].$$

Задача 1: $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2$

а) Область определения:

Функция $\sin(x)$ определена для всех значений $x$, следовательно, выражение $\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)$ также определено для всех значений $x$.

Таким образом, область определения функции $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2$ — это все действительные числа:

$$D(x) = (-\infty; +\infty);$$

б) Область значений:

Для того чтобы найти область значений функции, давайте сначала изучим выражение $2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)$.

Значение синуса всегда лежит в интервале $[-1; 1]$, поэтому:

$$-1 \leq \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) \leq 1;$$

Теперь умножим это неравенство на 2:

$$-2 \leq 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) \leq 2;$$

Затем вычитаем 2 из всех частей этого неравенства:

$$-4 \leq 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2 \leq 0;$$

Таким образом, область значений функции:

$$E(y) = [-4; 0];$$

в) Период функции:

Чтобы найти период функции, необходимо выяснить, при каком значении $T$ выполняется условие $y(x + T) = y(x)$. То есть, $T$ — это период функции, если через $T$ функция повторяет свои значения.

Подставим $x + T$ в исходное выражение для функции:

$$y(x + T) = 2 \sin \left( \frac{x + T}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2;$$ $$y(x) = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2;$$

Теперь приравняем $y(x + T)$ и $y(x)$:

$$2 \sin \left( \frac{x + T}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2 = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2;$$

После сокращения $-2$ получаем:

$$2 \sin \left( \frac{x + T}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right);$$

Разделим обе части на 2:

$$\sin \left( \frac{x + T}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right);$$

Чтобы это равенство выполнялось, аргументы синуса должны быть равны:

$$\frac{x + T}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{для некоторого} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Сократим на $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{x}{2}$:

$$\frac{T}{2} = 2\pi n;$$

Отсюда:

$$T = 4\pi n;$$

Минимальное значение периода $T$ соответствует $n = 1$, то есть $T = 4\pi$.

Таким образом, период функции:

$$T = 4\pi.$$

г) Функция ни четная, ни нечетная:

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого рассмотрим $y(-x)$:

$$y(-x) = 2 \sin \left( \frac{-x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2 = 2 \sin \left( -\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2.$$

Теперь заметим, что $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, следовательно:

$$y(-x) = -2 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{3} \right) — 2.$$

Это не равно $y(x) = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2$, то есть функция не является четной.

Кроме того, функция не является нечетной, так как:

$$y(-x) \neq -y(x).$$

Таким образом, функция ни четная, ни нечетная.

д) Нули функции:

Нули функции — это значения $x$, при которых $y(x) = 0$. Для этого решим уравнение:

$$2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2 = 0;$$

Добавим 2 к обеим частям:

$$2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 2;$$

Разделим обе части на 2:

$$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 1;$$

Синус принимает значение 1, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Теперь выразим $x$:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Умножим обе части на 2:

$$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{3} + 4\pi n.$$

Таким образом, нули функции:

$$x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

е) Максимальные значения:

Максимальные значения функции достигаются, когда $\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 1$, что соответствует $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$.

Таким образом, максимальные значения функции:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

ж) Минимальные значения:

Минимальные значения функции достигаются, когда $\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = -1$. Для этого решим уравнение:

$$2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) — 2 = -4;$$ $$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = -1;$$

Синус принимает значение -1, когда его аргумент равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Теперь выразим $x$:

$$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Умножим обе части на 2:

$$x = 2 \cdot \left( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = -\frac{5\pi}{3} + 4\pi n.$$

Таким образом, минимальные значения функции:

$$x = -\frac{5\pi}{3} + 4\pi n \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Задача 2: $y = \cos x — \sqrt{\cos^2 x} = \cos x — |\cos x|$

а) Если $\cos x \geq 0$, тогда:

Если $\cos x \geq 0$, то $|\cos x| = \cos x$, и функция упрощается:

$$y = \cos x — \cos x = 0.$$

Область определения: $\cos x \geq 0$. Это условие выполняется в интервале:

$$-\arccos 0 + 2\pi n \leq x \leq \arccos 0 + 2\pi n;$$

Где $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, следовательно:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) Если $\cos x < 0$, тогда:

Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$, и функция упрощается:

$$y = \cos x — (-\cos x) = 2 \cos x.$$

Область определения: $\cos x < 0$. Это условие выполняется в интервале:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Область значений функции $y = 2 \cos x$:

$$-1 \leq \cos x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad -2 \leq 2 \cos x \leq 0.$$

Таким образом, область значений:

$$E(y) = [-2; 0].$$

Нули функции:

Нули функции $y = 2 \cos x$ наступают, когда:

$$2 \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = 0.$$

Значения $x$, при которых $\cos x = 0$, это $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Следовательно, нули функции:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Минимальные значения:

Минимальные значения функции $y = 2 \cos x$ достигаются, когда:

$$\cos x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \pi + 2\pi n.$$

Дополнительное преобразование:

$$y = -\sin^2 x — \sin x — \frac{1}{4} + \frac{5}{4};$$ $$y = -\left( \sin^2 x + 2 \cdot \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{4} \right) + \frac{5}{4};$$ $$y = -\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{4};$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-\frac{1}{2} \leq \sin x + \frac{1}{2} \leq \frac{3}{2};$$ $$0 \leq \left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 \leq \frac{9}{4};$$ $$-\frac{9}{4} \leq -\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 \leq 0;$$ $$-1 \leq -\left( \sin x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{4} \leq \frac{5}{4}.$$

Ответ:

$$E(y) = \left[ -1; \frac{5}{4} \right].$$