ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 700 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной (700—701).

1. у = cos Зх;
2. у = 2 sin 4х;
3. у = x/2 tg2 х;
4. у = х cos x/2;
5. у = х sin х;
6. у = 2 sin2 х.

1. $y = \cos 3x$;
   $y(-x) = \cos(-3x) = \cos 3x = y(x)$;
   Ответ: четная.
2. $y = 2 \sin 4x$;
   $y(-x) = 2 \sin(-4x) = -2 \sin 4x = -y(x)$;
   Ответ: нечетная.
3. $y = \frac{x}{2} \, \operatorname{tg}^2 x$;
   $y(-x) = \frac{-x}{2} \cdot \operatorname{tg}^2(-x) = -\frac{x}{2} \cdot (-\operatorname{tg} x)^2 = -\frac{x}{2} \, \operatorname{tg}^2 x = -y(x)$;
   Ответ: нечетная.
4. $y = x \cos \frac{x}{2}$;
   $y(-x) = -x \cdot \cos \left( \frac{-x}{2} \right) = -x \cos \frac{x}{2} = -y(x)$;
   Ответ: нечетная.
5. $y = x \sin x$;
   $y(-x) = -x \cdot \sin(-x) = -x \cdot (-\sin x) = x \sin x = y(x)$;
   Ответ: четная.
6. $y = 2 \sin^2 x$;
   $y(-x) = 2 \cdot \sin^2(-x) = 2 \cdot (-\sin x)^2 = 2 \sin^2 x = y(x)$;
   Ответ: четная.

Обозначения: функция $y(x)$ называется

• чётной, если $y(-x) = y(x)$ для всех $x$ из области определения;
• нечётной, если $y(-x) = -y(x)$ для всех $x$ из области определения.

1) $y = \cos 3x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = \cos 3(-x) = \cos (-3x)$$

Шаг 2: Свойство косинуса:

$$\cos (-\theta) = \cos \theta$$

Шаг 3: Следовательно,

$$y(-x) = \cos 3x = y(x)$$

Вывод: функция $y$ чётная.

2) $y = 2 \sin 4x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = 2 \sin 4(-x) = 2 \sin (-4x)$$

Шаг 2: Свойство синуса:

$$\sin (-\theta) = -\sin \theta$$

Шаг 3: Тогда

$$y(-x) = 2 \cdot (-\sin 4x) = -2 \sin 4x = -y(x)$$

Вывод: функция $y$ нечётная.

3) $y = \frac{x}{2} \cdot \operatorname{tg}^2 x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = \frac{-x}{2} \cdot \operatorname{tg}^2 (-x)$$

Шаг 2: Свойство тангенса:

$$\operatorname{tg} (-\theta) = -\operatorname{tg} \theta$$

Шаг 3: Тогда

$$\operatorname{tg}^2 (-x) = (-\operatorname{tg} x)^2 = \operatorname{tg}^2 x$$

Шаг 4: Подставляем:

$$y(-x) = -\frac{x}{2} \cdot \operatorname{tg}^2 x = -y(x)$$

Вывод: функция $y$ нечётная.

4) $y = x \cos \frac{x}{2}$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = -x \cdot \cos \left( \frac{-x}{2} \right)$$

Шаг 2: Свойство косинуса:

$$\cos (-\theta) = \cos \theta$$

Шаг 3: Значит,

$$y(-x) = -x \cdot \cos \frac{x}{2} = -y(x)$$

Вывод: функция $y$ нечётная.

5) $y = x \sin x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = -x \cdot \sin (-x)$$

Шаг 2: Свойство синуса:

$$\sin (-\theta) = -\sin \theta$$

Шаг 3: Тогда

$$y(-x) = -x \cdot (-\sin x) = x \sin x = y(x)$$

Вывод: функция $y$ чётная.

6) $y = 2 \sin^2 x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = 2 \cdot \sin^2 (-x)$$

Шаг 2: Свойство синуса:

$$\sin (-\theta) = -\sin \theta \implies \sin^2 (-\theta) = (\sin \theta)^2 = \sin^2 \theta$$

Шаг 3: Следовательно,

$$y(-x) = 2 \sin^2 x = y(x)$$

Вывод: функция $y$ чётная.