ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 971 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. f (х) = 2 sin х + sin 2х на отрезке [0;3пи/2];
2. f (х) = 2 cos х + sin 2х на отрезке [0; пи].

Задание 1:

$f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$

1. Нахождение производной $f'(x)$:

$$f'(x) = 2 \cdot (\sin x)’ + (\sin 2x)’$$ $$f'(x) = 2 \cos x + 2 \cos 2x$$ $$f'(x) = 2 (\cos x + \cos 2x)$$

2. Стационарные точки:

$$\cos x + \cos 2x = 0$$ $$\cos x + \cos^2 x — \sin^2 x = 0$$ $$\cos x + \cos^2 x — 1 + \cos^2 x = 0$$ $$2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 = 0$$

3. Решение квадратного уравнения:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$$

4. Первое уравнение:

$$\cos x = -1$$ $$x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n$$

5. Второе уравнение:

$$\cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

6. Значения функции:

$$f(0) = 2 \sin 0 + \sin 0 = 2 \cdot 0 + 0 = 0$$ $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$ $$f(\pi) = 2 \sin \pi + \sin 2\pi = 2 \cdot 0 + 0 = 0$$ $$f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2 \sin \frac{3\pi}{2} + \sin 3\pi = 2 \cdot (-1) + 0 = -2$$

Ответ:

$$y_{\text{min}} = -2, \quad y_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Задание 2:

$f(x) = 2 \cos x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \pi]$

1. Нахождение производной $f'(x)$:

$$f'(x) = 2 \cdot (\cos x)’ + (\sin 2x)’$$ $$f'(x) = -2 \sin x + 2 \cos 2x$$ $$f'(x) = 2 (\cos 2x — \sin x)$$

2. Стационарные точки:

$$\cos 2x — \sin x = 0$$ $$\cos^2 x — \sin^2 x — \sin x = 0$$ $$1 — \sin^2 x — \sin^2 x — \sin x = 0$$ $$2 \sin^2 x + \sin x — 1 = 0$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 = 0$$

3. Решение квадратного уравнения:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$$

4. Первое уравнение:

$$\sin x = -1$$ $$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

5. Второе уравнение:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

6. Значения функции:

$$f(0) = 2 \cos 0 + \sin 0 = 2 \cdot 1 + 0 = 2$$ $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$ $$f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 2 \cos \frac{5\pi}{6} + \sin \frac{5\pi}{3} = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) — \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ $$f(\pi) = 2 \cos \pi + \sin 2\pi = 2 \cdot (-1) + 0 = -2$$

Ответ:

$$y_{\text{min}} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}, \quad y_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Задание 1:

$f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$

1. Нахождение производной $f'(x)$:

Мы начнем с нахождения производной функции $f(x)$. Для этого используем правила дифференцирования:

$$f'(x) = 2 \cdot (\sin x)’ + (\sin 2x)’$$

Здесь:

• Производная от $\sin x$ равна $\cos x$,
• Производная от $\sin 2x$ равна $2 \cos 2x$, так как при дифференцировании аргумент $2x$ также умножается на коэффициент 2.

Таким образом, получаем:

$$f'(x) = 2 \cdot \cos x + 2 \cdot \cos 2x$$

Далее можно вынести общий множитель 2:

$$f'(x) = 2 (\cos x + \cos 2x)$$

2. Стационарные точки:

Стационарные точки функции $f(x)$ находятся из условия, что производная $f'(x) = 0$:

$$\cos x + \cos 2x = 0$$

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для $\cos 2x$ (формула двойного угла):

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$\cos x + \cos^2 x — \sin^2 x = 0$$

Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, чтобы заменить $\sin^2 x$ на $1 — \cos^2 x$:

$$\cos x + \cos^2 x — (1 — \cos^2 x) = 0$$

Упростим выражение:

$$\cos x + \cos^2 x — 1 + \cos^2 x = 0$$ $$2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$$

Получаем квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$$2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$$

Пусть $y = \cos x$. Тогда у нас получается квадратное уравнение:

$$2y^2 + y — 1 = 0$$

3. Решение квадратного уравнения:

Для решения квадратного уравнения $2y^2 + y — 1 = 0$ воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 2$, $b = 1$, и $c = -1$. Подставляем значения:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, $y_1 = -1$ и $y_2 = \frac{1}{2}$.

4. Первое уравнение (для $y_1 = -1$):

Решим уравнение $\cos x = -1$. Это уравнение имеет решение:

$$x = \pi + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

На отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ возможное значение $x = \pi$.

5. Второе уравнение (для $y_2 = \frac{1}{2}$):

Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$. Это уравнение имеет два решения на интервале $[0; 2\pi]$:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$$

Зная, что $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

На отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ возможные значения:

$$x = \frac{\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} \quad (\text{но } \frac{5\pi}{3} > \frac{3\pi}{2}, \text{ поэтому это значение не подходит})$$

Таким образом, стационарные точки находятся при $x = \pi$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

6. Значения функции:

Теперь вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка $[0; \frac{3\pi}{2}]$.

• $f(0) = 2 \sin 0 + \sin 0 = 0$
• $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
• $f(\pi) = 2 \sin \pi + \sin 2\pi = 0$
• $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2 \sin \frac{3\pi}{2} + \sin 3\pi = 2 \cdot (-1) + 0 = -2$

Ответ:

Минимальное значение функции $y_{\text{min}} = -2$, а максимальное значение $y_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Задание 2:

$f(x) = 2 \cos x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \pi]$

1. Нахождение производной $f'(x)$:

Мы начнем с нахождения производной функции $f(x)$:

$$f'(x) = 2 \cdot (\cos x)’ + (\sin 2x)’$$

Производная от $\cos x$ равна $-\sin x$, а производная от $\sin 2x$ равна $2 \cos 2x$. Таким образом:

$$f'(x) = -2 \sin x + 2 \cos 2x$$ $$f'(x) = 2 (\cos 2x — \sin x)$$

2. Стационарные точки:

Стационарные точки функции $f(x)$ находим из уравнения $f'(x) = 0$:

$$\cos 2x — \sin x = 0$$

Используем формулы для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$\cos^2 x — \sin^2 x — \sin x = 0$$

Используем $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$1 — \sin^2 x — \sin^2 x — \sin x = 0$$ $$2 \sin^2 x + \sin x — 1 = 0$$

Пусть $y = \sin x$, тогда у нас получается квадратное уравнение:

$$2y^2 + y — 1 = 0$$

3. Решение квадратного уравнения:

Для решения квадратного уравнения $2y^2 + y — 1 = 0$ воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$$

4. Первое уравнение (для $y_1 = -1$):

Решаем $\sin x = -1$:

$$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

На интервале $[0; \pi]$ значение $x = \frac{3\pi}{2}$ не подходит, так как оно выходит за пределы интервала.

5. Второе уравнение (для $y_2 = \frac{1}{2}$):

Решаем $\sin x = \frac{1}{2}$:

$$x = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Это значение подходит для интервала $[0; \pi]$. Таким образом, стационарная точка находится в $x = \frac{\pi}{6}$.

6. Значения функции:

Вычислим значения функции в критических точках и на концах интервала:

• $f(0) = 2 \cos 0 + \sin 0 = 2$
• $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
• $f(\pi) = 2 \cos \pi + \sin 2\pi = -2$

Ответ:

Минимальное значение функции $y_{\text{min}} = -2$, максимальное значение $y_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.