ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 469 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. (1+tg2a)cos2a-1;
2. 1- sin2a(1+ctga);
3. 1+tg2a + 1/sin2a;
4. (1+tg2a)/(1+ctg2a).

1.

$$(1+{\mathrm{tg}}^{2}a){\cos }^{2}a-1=(1+\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}){\cos }^{2}a-1={\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a-1=1-1=0;$$

Ответ: $0$.

2.

$$1-{\sin }^{2}a(1+{\mathrm{ctg}}^{2}a)=1-{\sin }^{2}a(1+\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a})=1-{\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a=$$

$$=1-({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)=1-1=0;$$

Ответ: $0$.

3.

$$1+{\mathrm{tg}}^{2}a+\frac{1}{{\sin }^{2}a}=1+\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}+\frac{1}{{\sin }^{2}a}=\frac{{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}+\frac{1}{{\sin }^{2}a}=$$

$$=\frac{1}{{\cos }^{2}a}+\frac{1}{{\sin }^{2}a}=\frac{{\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a\cdot {\cos }^{2}a}=\frac{1}{{\sin }^{2}a\cdot {\cos }^{2}a};$$

Ответ: $\frac{1}{{\sin }^{2}a\cdot {\cos }^{2}a}$.

4.

$$\frac{1+{\mathrm{tg}}^{2}a}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}a}=(1+{\mathrm{tg}}^{2}a):(1+\frac{1}{{\mathrm{tg}}^{2}a})=(1+{\mathrm{tg}}^{2}a):\frac{{\mathrm{tg}}^{2}a+1}{{\mathrm{tg}}^{2}a}=(1+{\mathrm{tg}}^{2}a)\cdot \frac{{\mathrm{tg}}^{2}a}{1+{\mathrm{tg}}^{2}a}={\mathrm{tg}}^{2}a;$$

Ответ: ${\mathrm{tg}}^{2}a$.

1)

$$(1+{\mathrm{tg}}^{2}a){\cos }^{2}a-1$$

Шаг 1: Вспомним определение тангенса в квадрате

$${\mathrm{tg}}^{2}a=\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$(1+\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a})\cdot {\cos }^{2}a-1$$

Шаг 3: Раскроем скобки

$$={\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a-1$$

Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество

$${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1\Rightarrow 1-1=0$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$

2)

$$1-{\sin }^{2}a(1+{\mathrm{ctg}}^{2}a)$$

Шаг 1: Вспомним определение котангенса в квадрате

$${\mathrm{ctg}}^{2}a=\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}$$

Шаг 2: Подставим

$$1-{\sin }^{2}a\cdot (1+\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a})$$

Шаг 3: Раскроем скобки

$$1-({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)$$

Шаг 4: Используем тождество

$$1-1=0$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$

3)

$$1+{\mathrm{tg}}^{2}a+\frac{1}{{\sin }^{2}a}$$

Шаг 1: Подставим определение

$${\mathrm{tg}}^{2}a=\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}$$$$\Rightarrow 1+\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}+\frac{1}{{\sin }^{2}a}$$

Шаг 2: Объединим первые два слагаемых

$$\frac{{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}+\frac{1}{{\sin }^{2}a}$$

Шаг 3: По основному тождеству

$${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^{2}a}+\frac{1}{{\sin }^{2}a}$$

Шаг 4: Приведем к общему знаменателю

$$\frac{{\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a\cdot {\cos }^{2}a}=\frac{1}{{\sin }^{2}a\cdot {\cos }^{2}a}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}a\cdot {\cos }^{2}a}}}$

4)

$$\frac{1+{\mathrm{tg}}^{2}a}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}a}$$

Шаг 1: Вспомним определения

• ${\mathrm{tg}}^{2}a=x\Rightarrow {\mathrm{ctg}}^{2}a=\frac{1}{x}$

Тогда выражение:

$$\frac{1+x}{1+\frac{1}{x}}$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

$$1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$$

Шаг 3: Деление дробей

$$\frac{1+x}{\frac{1+x}{x}}=(1+x)\cdot \frac{x}{1+x}$$

Сократим $1+x$:

$$x={\mathrm{tg}}^{2}a$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{tg}}^{2}a}}$