ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 570 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить числа:

1. arccos корень 3/2 и arccos1/2;
2. arccos(-3/4) и arccos(-1);
3. arccos(-корень 2/2) и arccos(-1/2).

1. $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}<\arccos \frac{1}{2}$;
   $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$;
   $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$;
   $\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{3}$
2. $\arccos (-\frac{3}{4})<\arccos (-1)$;
   $\arccos (-\frac{3}{4})=\pi -\arccos \frac{3}{4}<\pi$;
   $\arccos (-1)=\pi -\arccos 1=\pi -0=\pi$;
   $\arccos (-\frac{3}{4})<\arccos (-1)$
3. $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})>\arccos (-\frac{1}{2})$;
   $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})=\pi -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$;
   $\arccos (-\frac{1}{2})=\pi -\arccos \frac{1}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$;
   $\frac{3\pi }{4}>\frac{2\pi }{3}$

Общие свойства арккосинуса

• Арккосинус — обратная функция к косинусу, определён на промежутке $x\in [-1,1]$ с областью значений $\arccos x\in [0,\pi ]$.
• Функция $y=\arccos x$ строго монотонно убывает на своём определении.
• Следовательно, для любых $a,b\in [-1,1]$:$$a<b⟹\arccos a>\arccos b$$

То есть большее значение аргумента — меньшее значение арккосинуса и наоборот.

1) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}<\arccos \frac{1}{2}$

Шаг 1: Числовые значения аргументов

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866,\frac{1}{2}=0.5$$

Имеем:

$$\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Учитываем убывание функции

Поскольку $\arccos x$ убывает:

$$a<b⟹\arccos a>\arccos b$$

Отсюда:

$$0.5<0.866⟹\arccos 0.5>\arccos 0.866$$

То есть:

$$\arccos \frac{1}{2}>\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Значения арккосинусов

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}\approx 0.5236$$$$\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}\approx 1.0472$$

Итог:

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{3}=\arccos \frac{1}{2}$$

2) $\arccos (-\frac{3}{4})<\arccos (-1)$

Шаг 1: Числовые значения аргументов

$$-1=-1,-\frac{3}{4}=-0.75$$

Имеем:

$$-1<-0.75$$

Шаг 2: Свойства убывания арккосинуса

Поскольку $-1<-0.75$, то

$$\arccos (-1)>\arccos (-\frac{3}{4})$$

Шаг 3: Значения арккосинусов

• $\arccos (-1)=\pi$ (так как $\cos \pi =-1$)
• $\arccos (-\frac{3}{4})=\pi -\arccos \frac{3}{4}$

Пояснение:
Для отрицательных аргументов:

$$\arccos (-x)=\pi -\arccos x,x\in [0,1]$$

Шаг 4: Сравнение

Так как $\arccos \frac{3}{4}\in (0,\frac{\pi }{2})$, значит

$$\arccos (-\frac{3}{4})=\pi -\arccos \frac{3}{4}<\pi =\arccos (-1)$$

3) $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})>\arccos (-\frac{1}{2})$

Шаг 1: Числовые значения аргументов

$$-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.707,-\frac{1}{2}=-0.5$$

Имеем:

$$-0.707<-0.5$$

Шаг 2: Убывание функции арккосинуса

Так как $-0.707<-0.5$, то

$$\arccos (-0.707)>\arccos (-0.5)$$

Шаг 3: Вычислим значения арккосинусов

Используем формулу для отрицательных аргументов:

$$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$$

• $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})=\pi -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}\approx 2.356$
• $\arccos (-\frac{1}{2})=\pi -\arccos \frac{1}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}\approx 2.094$

Итог:

$$\frac{3\pi }{4}>\frac{2\pi }{3}⟹\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})>\arccos (-\frac{1}{2})$$

Общий итог: