ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 382 Алимов — Подробные Ответы

1. log3 (5 — 4x) < log3 (x — 1);
2. log0,3(2x + 5) > = log0,3 (x + 1).

1)

$${\log }_3(5-4x)<{\log }_3(x-1);$$

$$\log_3(5 — 4x) < \log_3(x — 1);$$ $$5-4x<x-1;$$

$$5 — 4x < x — 1;$$ $$-5x < -6, \text{ отсюда } x > 1{,}2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5-4x>0;$$

$$5 — 4x > 0;$$ $$4x < 5, \text{ отсюда } x < 1{,}25;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 1 > 0, \text{ отсюда } x > 1;$$

Ответ: $1{,}2 < x < 1{,}25$

2)

$${\log }_{\mathrm{0,3}}(2x+5)\ge {\log }_{\mathrm{0,3}}(x+1);$$

$$\log_{0{,}3}(2x + 5) \geq \log_{0{,}3}(x + 1);$$ $$2x+5\le x+1;$$

$$2x + 5 \leq x + 1;$$ $$x \leq 1 — 5, \text{ отсюда } x \leq -4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x+5>0;$$

$$2x + 5 > 0;$$ $$2x > -5, \text{ отсюда } x > -2{,}5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 1 > 0, \text{ отсюда } x > -1;$$

Ответ: решений нет.

1)

$$\log_3(5 — 4x) < \log_3(x — 1)$$

Шаг 1. Область определения логарифмов:

Для логарифмов определено:

• $5 — 4x > 0 \Rightarrow 4x < 5 \Rightarrow x < 1{,}25$
• $x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Область определения (ОДЗ):

$$x \in (1; 1{,}25)$$

Шаг 2. Поскольку логарифмы с одинаковым основанием $a = 3 > 1$,

логарифмическая функция возрастает, и знак сохраняется при сравнении аргументов:

$$\log_3(5 — 4x) < \log_3(x — 1) \Rightarrow 5 — 4x < x — 1$$

Шаг 3. Решим неравенство:

$$5 — 4x < x — 1 \Rightarrow -5x < -6 \Rightarrow x > \frac{6}{5} = 1{,}2$$

Шаг 4. Учитываем область определения:

$$x \in (1; 1{,}25) \cap (1{,}2; +\infty) = \boxed{(1{,}2; 1{,}25)}$$

Ответ 1:

$$\boxed{1{,}2 < x < 1{,}25}$$

2)

$$\log_{0{,}3}(2x + 5) \geq \log_{0{,}3}(x + 1)$$

Шаг 1. Область определения:

• $2x + 5 > 0 \Rightarrow x > -2{,}5$
• $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$

ОДЗ:

$$x > -1$$

Шаг 2. Основание логарифма $0{,}3 < 1$

Функция убывает, поэтому знак меняется на противоположный при переходе к аргументам:

$$\log_{0{,}3}(2x + 5) \geq \log_{0{,}3}(x + 1) \Rightarrow 2x + 5 \leq x + 1$$

Шаг 3. Решаем неравенство:

$$2x + 5 \leq x + 1 \Rightarrow x \leq -4$$

Шаг 4. Совмещаем с областью определения:

• Решение по неравенству: $x \leq -4$
• Область определения: $x > -1$

Совместное решение:

$$x \leq -4 \quad \text{и} \quad x > -1 \quad \Rightarrow \boxed{\text{Нет решений}}$$

Ответ 2:

$$\boxed{\text{решений нет}}$$