ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1113 Алимов — Подробные Ответы

Записать разложение бинома:

1. (3a+1)5;
2. (x+6)6;
3. (x+1/3)7;
4. (a/3-1)5;
5. (10x-0,1)6;
6. (0,1b-10)7;
7. (2/a + a/2)7;
8. (2/c + c/2).

Для нахождения биномиальных коэффициентов воспользуемся треугольником Паскаля, представленным на странице 331 учебника

Бином Ньютона:

$$(a+b{)}^m=C_m^0\cdot a^m+C_m^1\cdot a^{m-1}\cdot b+C_m^2\cdot a^{m-2}\cdot b^2+\cdots +C_m^m\cdot b^m;$$

$1)\; (3a+1{)}^5=1\cdot (3a{)}^5+5\cdot (3a{)}^4\cdot 1+10\cdot (3a{)}^3\cdot 1^2+10\cdot (3a{)}^2\cdot 1^3+$

$+5\cdot 3a\cdot 1^4+1\cdot 1^5=$

$243a^5+5\cdot 81a^4+10\cdot 27a^3+10\cdot 9a^2+15a+1=$

$=243a^5+405a^4+270a^3+90a^2+15a+1$

$2)\; (x+3{)}^6=1\cdot x^6+6\cdot x^5\cdot 3+15\cdot x^4\cdot 3^2+20\cdot x^3\cdot 3^3+15\cdot x^2\cdot 3^4+6\cdot x\cdot 3^5+1\cdot 3^6=$

$=x^6+18x^5+15\cdot 9x^4+20\cdot 27x^3+15\cdot 81x^2+6\cdot 243x+729=$

$=x^6+18x^5+135x^4+540x^3+$

$+1215x^2+1458x+729$

3) ${(x-\frac{1}{3})}^7=1\cdot x^7+7\cdot x^6\cdot (-\frac{1}{3})+21\cdot x^5\cdot {(-\frac{1}{3})}^2+35\cdot x^4\cdot {(-\frac{1}{3})}^3+$

$+35\cdot x^3\cdot {(-\frac{1}{3})}^4+$

$+21\cdot x^2\cdot {(-\frac{1}{3})}^5+7\cdot x\cdot {(-\frac{1}{3})}^6+1\cdot {(-\frac{1}{3})}^7=$

$=x^7-\frac{7}{3}{x}^6+\frac{7}{3}{x}^5-\frac{35}{27}{x}^4+\frac{35}{81}{x}^3-\frac{7}{81}{x}^2+\frac{7}{729}x-\frac{1}{2187}$

4) ${(\frac{a}{3}-1)}^5=1\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^5+5\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^4\cdot (-1)+10\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^3\cdot (-1{)}^2+$

$+10\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^2\cdot (-1{)}^3+5\cdot \left(\frac{a}{3}\right)\cdot (-1{)}^4+$

$+1\cdot (-1{)}^5=\frac{1}{243}{a}^5-\frac{5}{81}{a}^4+\frac{10}{27}{a}^3-\frac{10}{9}{a}^2+\frac{5}{3}a-1$

$5)\; (10x-0.1{)}^6=1\cdot (10x{)}^6+6\cdot (10x{)}^5\cdot (-\frac{1}{10})+15\cdot (10x{)}^4\cdot {(-\frac{1}{10})}^2+$

$+20\cdot (10x{)}^3\cdot {(-\frac{1}{10})}^3+$

$+15\cdot (10x{)}^2\cdot {(-\frac{1}{10})}^4+6\cdot 10x\cdot {(-\frac{1}{10})}^5+{(-\frac{1}{10})}^6=(10x{)}^6-6\cdot {10}^4{x}^5+$

$+1500x^4-20x^3+\frac{3}{20}{x}^2-\frac{6}{{10}^4}x+\frac{1}{{10}^4}$

$6)\; (0.1b-10{)}^7=1\cdot {\left(\frac{b}{10}\right)}^7+7\cdot {\left(\frac{b}{10}\right)}^6\cdot (-10)+21\cdot {\left(\frac{b}{10}\right)}^5\cdot (-10{)}^2+$

$+35\cdot {\left(\frac{b}{10}\right)}^4\cdot (-10{)}^3+$

$+35\cdot {\left(\frac{b}{10}\right)}^3\cdot (-10{)}^4+21\cdot {\left(\frac{b}{10}\right)}^2\cdot (-10{)}^5+7\cdot \left(\frac{b}{10}\right)\cdot (-10{)}^6+1\cdot (-10{)}^7=$

$=\frac{b^7}{{10}^7}-\frac{7b^6}{{10}^5}+\frac{21b^5}{{10}^3}-\frac{35b^4}{10}+$

$+350b^3-21\cdot {10}^3{b}^2+7\cdot {10}^{5}b-{10}^7$

7) ${(\frac{2}{a}+\frac{a}{2})}^7={\left(\frac{2}{a}\right)}^7+7\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^6\cdot \left(\frac{a}{2}\right)+21\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^5\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^2+35\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^4\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^3+$

$+35\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^3\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^4+$

$+21\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^2\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^5+7\cdot \left(\frac{2}{a}\right)\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^6+1\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^7=\frac{128}{a^7}+7\cdot \frac{32}{a^5}+21\cdot \frac{8}{a^3}+$

$+35\cdot \frac{2}{a}+35\cdot \frac{a}{2}+21\cdot \frac{a^3}{8}+7\cdot \frac{a^5}{32}+$

$+\frac{a^7}{128}=\frac{128}{a^7}+\frac{224}{a^5}+\frac{168}{a^3}+\frac{70}{a}+\frac{35}{2}{a}^3+\frac{7}{32}{a}^5+\frac{1}{128}{a}^7$

8) ${(\frac{2}{c}+\frac{c}{2})}^8={\left(\frac{2}{c}\right)}^8+8\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^7\cdot \left(\frac{c}{2}\right)+28\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^6\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^2+56\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^5\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^3+$

$+70\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^4\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^4+$

$+56\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^3\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^5+28\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^2\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^6+8\cdot \left(\frac{2}{c}\right)\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^7+1\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^8=$

$=\frac{256}{c^8}+8\cdot \frac{64}{c^6}+28\cdot \frac{16}{c^4}+56\cdot \frac{4}{c^2}+70+$

$+56\cdot \frac{c^2}{4}+28\cdot \frac{c^4}{16}+8\cdot \frac{c^6}{64}+\frac{c^8}{256}=\frac{256}{c^8}+\frac{512}{c^6}+\frac{448}{c^4}+\frac{224}{c^2}+70+14c^2+\frac{7}{4}{c}^4+\frac{1}{8}{c}^6+\frac{1}{256}{c}^8$

Что такое биномиальные коэффициенты и бином Ньютона?

1. Бином Ньютона используется для разложения выражений вида $(a+b{)}^m$ в сумму, которая включает коэффициенты $C_m^k$ (биномиальные коэффициенты), которые показывают, сколько способов выбрать $k$ объектов из $m$ объектов.Бином Ньютона записывается следующим образом:$$(a+b{)}^m=C_m^0\cdot a^m+C_m^1\cdot a^{m-1}\cdot b+C_m^2\cdot a^{m-2}\cdot b^2+\cdots +C_m^m\cdot b^m$$
2. Биномиальный коэффициент $C_m^k$:$$C_m^k=\frac{m!}{k!(m-k)!}$$где:

• $m!$ — факториал числа $m$,
• $k!$ — факториал числа $k$,
• $(m-k)!$ — факториал числа $m-k$.

Пример 1: Разложение $(3a+1{)}^5$

Шаг 1: Воспользуемся формулой бинома Ньютона для $(3a+1{)}^5$:

$$(3a+1{)}^5=C_5^0\cdot (3a{)}^5+C_5^1\cdot (3a{)}^4\cdot 1+C_5^2\cdot (3a{)}^3\cdot 1^2+C_5^3\cdot (3a{)}^2\cdot 1^3+C_5^4\cdot 3a\cdot 1^4+C_5^5\cdot 1^5$$

Шаг 2: Подставим значения биномиальных коэффициентов:

$$C_5^0=1,C_5^1=5,C_5^2=10,C_5^3=10,C_5^4=5,C_5^5=1$$

Шаг 3: Разложим каждый член:

$C_5^0\cdot (3a{)}^5=1\cdot 243a^5=243a^5$

$C_5^1\cdot (3a{)}^4\cdot 1=5\cdot 81a^4=405a^4$

$C_5^2\cdot (3a{)}^3\cdot 1^2=10\cdot 27a^3=270a^3$

$C_5^3\cdot (3a{)}^2\cdot 1^3=10\cdot 9a^2=90a^2$

$C_5^4\cdot 3a\cdot 1^4=5\cdot 3a=15a$

$C_5^5\cdot 1^5=1$

Шаг 4: Сложим все члены:

$$(3a+1{)}^5=243a^5+405a^4+270a^3+90a^2+15a+1$$

Ответ: $(3a+1{)}^5=243a^5+405a^4+270a^3+90a^2+15a+1$

Пример 2: Разложение $(x+3{)}^6$

Шаг 1: Воспользуемся формулой бинома Ньютона для $(x+3{)}^6$:

$$(x+3{)}^6=C_6^0\cdot x^6+C_6^1\cdot x^5\cdot 3+C_6^2\cdot x^4\cdot 3^2+C_6^3\cdot x^3\cdot 3^3+C_6^4\cdot x^2\cdot 3^4+C_6^5\cdot x\cdot 3^5+C_6^6\cdot 3^6$$

Шаг 2: Подставим значения биномиальных коэффициентов:

$$C_6^0=1,C_6^1=6,C_6^2=15,C_6^3=20,C_6^4=15,C_6^5=6,C_6^6=1$$

Шаг 3: Разложим каждый член:

$C_6^0\cdot x^6=1\cdot x^6=x^6$

$C_6^1\cdot x^5\cdot 3=6\cdot 3x^5=18x^5$

$C_6^2\cdot x^4\cdot 3^2=15\cdot 9x^4=135x^4$

$C_6^3\cdot x^3\cdot 3^3=20\cdot 27x^3=540x^3$

$C_6^4\cdot x^2\cdot 3^4=15\cdot 81x^2=1215x^2$

$C_6^5\cdot x\cdot 3^5=6\cdot 243x=1458x$

$C_6^6\cdot 3^6=1\cdot 729=729$

Шаг 4: Сложим все члены:

$$(x+3{)}^6=x^6+18x^5+135x^4+540x^3+1215x^2+1458x+729$$

Ответ: $(x+3{)}^6=x^6+18x^5+135x^4+540x^3+1215x^2+1458x+729$

Пример 3: Разложение ${(x-\frac{1}{3})}^7$

Шаг 1: Воспользуемся формулой бинома Ньютона для ${(x-\frac{1}{3})}^7$:

$${(x-\frac{1}{3})}^7=C_7^0\cdot x^7+C_7^1\cdot x^6\cdot (-\frac{1}{3})+C_7^2\cdot x^5\cdot {(-\frac{1}{3})}^2+\cdots +C_7^7\cdot {(-\frac{1}{3})}^7$$

Шаг 2: Подставим значения биномиальных коэффициентов:

$$C_7^0=1,C_7^1=7,C_7^2=21,C_7^3=35,C_7^4=35,C_7^5=21,C_7^6=7,C_7^7=1$$

Шаг 3: Разложим каждый член:

$C_7^0\cdot x^7=x^7$

$C_7^1\cdot x^6\cdot (-\frac{1}{3})=7\cdot x^6\cdot (-\frac{1}{3})=-\frac{7}{3}{x}^6$

$C_7^2\cdot x^5\cdot {(-\frac{1}{3})}^2=21\cdot x^5\cdot \frac{1}{9}=\frac{21}{9}{x}^5=\frac{7}{3}{x}^5$

$C_7^3\cdot x^4\cdot {(-\frac{1}{3})}^3=35\cdot x^4\cdot (-\frac{1}{27})=-\frac{35}{27}{x}^4$

$C_7^4\cdot x^3\cdot {(-\frac{1}{3})}^4=35\cdot x^3\cdot \frac{1}{81}=\frac{35}{81}{x}^3$

$C_7^5\cdot x^2\cdot {(-\frac{1}{3})}^5=21\cdot x^2\cdot (-\frac{1}{243})=-\frac{21}{243}{x}^2=-\frac{7}{81}{x}^2$

$C_7^6\cdot x\cdot {(-\frac{1}{3})}^6=7\cdot x\cdot \frac{1}{729}=\frac{7}{729}x$

$C_7^7\cdot {(-\frac{1}{3})}^7=-\frac{1}{2187}$

Шаг 4: Сложим все члены:

$${(x-\frac{1}{3})}^7=x^7-\frac{7}{3}{x}^6+\frac{7}{3}{x}^5-\frac{35}{27}{x}^4+\frac{35}{81}{x}^3-\frac{7}{81}{x}^2+\frac{7}{729}x-\frac{1}{2187}$$

Ответ: ${(x-\frac{1}{3})}^7=x^7-\frac{7}{3}{x}^6+\frac{7}{3}{x}^5-\frac{35}{27}{x}^4+\frac{35}{81}{x}^3-\frac{7}{81}{x}^2+\frac{7}{729}x-\frac{1}{2187}$

Пример 4: Разложение ${(\frac{a}{3}-1)}^5$

Шаг 1: Воспользуемся формулой бинома Ньютона для ${(\frac{a}{3}-1)}^5$:

$${(\frac{a}{3}-1)}^5=C_5^0\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^5+C_5^1\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^4\cdot (-1)+C_5^2\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^3\cdot (-1{)}^2+$$

$$+C_5^3\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^2\cdot (-1{)}^3+C_5^4\cdot \left(\frac{a}{3}\right)\cdot (-1{)}^4+C_5^5\cdot (-1{)}^5$$

Шаг 2: Подставим значения биномиальных коэффициентов:

$$C_5^0=1,C_5^1=5,C_5^2=10,C_5^3=10,C_5^4=5,C_5^5=1$$

Шаг 3: Разложим каждый член:

$C_5^0\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^5=1\cdot \frac{a^5}{243}=\frac{a^5}{243}$

$C_5^1\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^4\cdot (-1)=5\cdot \frac{a^4}{81}\cdot (-1)=-\frac{5a^4}{81}$

$C_5^2\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^3\cdot (-1{)}^2=10\cdot \frac{a^3}{27}=\frac{10a^3}{27}$

$C_5^3\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^2\cdot (-1{)}^3=10\cdot \frac{a^2}{9}\cdot (-1)=-\frac{10a^2}{9}$

$C_5^4\cdot \left(\frac{a}{3}\right)\cdot (-1{)}^4=5\cdot \frac{a}{3}=\frac{5a}{3}$

$C_5^5\cdot (-1{)}^5=-1$

Шаг 4: Сложим все члены:

$${(\frac{a}{3}-1)}^5=\frac{a^5}{243}-\frac{5a^4}{81}+\frac{10a^3}{27}-\frac{10a^2}{9}+\frac{5a}{3}-1$$

Ответ: ${(\frac{a}{3}-1)}^5=\frac{a^5}{243}-\frac{5a^4}{81}+\frac{10a^3}{27}-\frac{10a^2}{9}+\frac{5a}{3}-1$

Пример 5: Разложение $(10x-0.1{)}^6$

Шаг 1: Воспользуемся формулой бинома Ньютона для $(10x-0.1{)}^6$:

$$(10x-0.1{)}^6=C_6^0\cdot (10x{)}^6+C_6^1\cdot (10x{)}^5\cdot (-0.1)+C_6^2\cdot (10x{)}^4\cdot (-0.1{)}^2+$$

$$+C_6^3\cdot (10x{)}^3\cdot (-0.1{)}^3+C_6^4\cdot (10x{)}^2\cdot (-0.1{)}^4+C_6^5\cdot 10x\cdot (-0.1{)}^5+C_6^6\cdot (-0.1{)}^6$$

Шаг 2: Подставим значения биномиальных коэффициентов:

$$C_6^0=1,C_6^1=6,C_6^2=15,C_6^3=20,C_6^4=15,C_6^5=6,C_6^6=1$$

Шаг 3: Разложим каждый член:

$C_6^0\cdot (10x{)}^6=1\cdot (10x{)}^6={10}^6{x}^6=1000000x^6$

$C_6^1\cdot (10x{)}^5\cdot (-0.1)=6\cdot {10}^5{x}^5\cdot (-0.1)=-6\cdot {10}^4{x}^5$

$C_6^2\cdot (10x{)}^4\cdot (-0.1{)}^2=15\cdot {10}^4{x}^4\cdot 0.01=1500x^4$

$C_6^3\cdot (10x{)}^3\cdot (-0.1{)}^3=20\cdot {10}^3{x}^3\cdot (-0.001)=-20x^3$

$C_6^4\cdot (10x{)}^2\cdot (-0.1{)}^4=15\cdot {10}^2{x}^2\cdot 0.0001=0.15x^2$

$C_6^5\cdot 10x\cdot (-0.1{)}^5=6\cdot 10x\cdot (-0.00001)=-0.00006x$

$C_6^6\cdot (-0.1{)}^6=1\cdot 0.000001=0.000001$

Шаг 4: Сложим все члены:

$$(10x-0.1{)}^6=1000000x^6-60000x^5+1500x^4-20x^3+$$

$$+0.15x^2-0.00006x+0.000001$$

Ответ: $(10x-0.1{)}^6=1000000x^6-60000x^5+1500x^4-20x^3+0.15x^2-0.00006x+0.000001$

Пример 6: Разложение $(0.1b-10{)}^7$

Шаг 1: Воспользуемся формулой бинома Ньютона для $(0.1b-10{)}^7$:

$$(0.1b-10{)}^7=C_7^0\cdot (0.1b{)}^7+C_7^1\cdot (0.1b{)}^6\cdot (-10)+$$

$$+C_7^2\cdot (0.1b{)}^5\cdot (-10{)}^2+\cdots +C_7^7\cdot (-10{)}^7$$

Шаг 2: Подставим значения биномиальных коэффициентов:

$$C_7^0=1,C_7^1=7,C_7^2=21,C_7^3=35,$$

$$C_7^4=35,C_7^5=21,C_7^6=7,C_7^7=1$$

Шаг 3: Разложим каждый член:

$C_7^0\cdot (0.1b{)}^7=\frac{b^7}{{10}^7}$

$C_7^1\cdot (0.1b{)}^6\cdot (-10)=-\frac{7b^6}{{10}^5}$

$C_7^2\cdot (0.1b{)}^5\cdot (-10{)}^2=\frac{21b^5}{{10}^3}$

$C_7^3\cdot (0.1b{)}^4\cdot (-10{)}^3=-\frac{35b^4}{10}$

$C_7^4\cdot (0.1b{)}^3\cdot (-10{)}^4=\frac{35b^3}{{10}^4}$

$C_7^5\cdot (0.1b{)}^2\cdot (-10{)}^5=-\frac{21b^2}{{10}^6}$

$C_7^6\cdot (0.1b)\cdot (-10{)}^6=\frac{7b}{{10}^8}$

$C_7^7\cdot (-10{)}^7=-{10}^7$

Шаг 4: Сложим все члены:

$$(0.1b-10{)}^7=\frac{b^7}{{10}^7}-\frac{7b^6}{{10}^5}+\frac{21b^5}{{10}^3}-\frac{35b^4}{10}+350b^3-\frac{21b^2}{{10}^3}+\frac{7b}{{10}^5}-{10}^7$$

Ответ: $(0.1b-10{)}^7=\frac{b^7}{{10}^7}-\frac{7b^6}{{10}^5}+\frac{21b^5}{{10}^3}-\frac{35b^4}{10}+350b^3-\frac{21b^2}{{10}^3}+\frac{7b}{{10}^5}-{10}^7$

Пример 7: Разложение ${(\frac{2}{a}+\frac{a}{2})}^7$

Шаг 1: Воспользуемся формулой бинома Ньютона для ${(\frac{2}{a}+\frac{a}{2})}^7$:

$${(\frac{2}{a}+\frac{a}{2})}^7=C_7^0\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^7+C_7^1\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^6\cdot \left(\frac{a}{2}\right)+C_7^2\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^5\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^2+\cdots +C_7^7\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^7$$

Шаг 2: Подставим биномиальные коэффициенты для $m=7$:

$$C_7^0=1,C_7^1=7,C_7^2=21,C_7^3=35,C_7^4=35,C_7^5=21,C_7^6=7,C_7^7=1$$

Шаг 3: Разложим каждый член, начиная с $C_7^0$ до $C_7^7$:

$C_7^0\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^7=\frac{128}{a^7}$

$C_7^1\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^6\cdot \left(\frac{a}{2}\right)=7\cdot \frac{64}{a^6}\cdot \frac{a}{2}=\frac{224}{a^5}$

$C_7^2\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^5\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=21\cdot \frac{32}{a^5}\cdot \frac{a^2}{4}=\frac{168}{a^3}$

$C_7^3\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^4\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^3=35\cdot \frac{16}{a^4}\cdot \frac{a^3}{8}=\frac{70}{a}$

$C_7^4\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^3\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^4=35\cdot \frac{8}{a^3}\cdot \frac{a^4}{16}=\frac{35a}{2}$

$C_7^5\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^2\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^5=21\cdot \frac{4}{a^2}\cdot \frac{a^5}{32}=\frac{7a^3}{8}$

$C_7^6\cdot \left(\frac{2}{a}\right)\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^6=7\cdot \frac{2}{a}\cdot \frac{a^6}{64}=\frac{7a^5}{32}$

$C_7^7\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^7=\frac{a^7}{128}$

Шаг 4: Сложим все члены:

$${(\frac{2}{a}+\frac{a}{2})}^7=\frac{128}{a^7}+\frac{224}{a^5}+\frac{168}{a^3}+\frac{70}{a}+\frac{35}{2}a+\frac{7}{8}{a}^3+\frac{7}{32}{a}^5+\frac{1}{128}{a}^7$$

Ответ: ${(\frac{2}{a}+\frac{a}{2})}^7=\frac{128}{a^7}+\frac{224}{a^5}+\frac{168}{a^3}+\frac{70}{a}+\frac{35}{2}a+\frac{7}{8}{a}^3+\frac{7}{32}{a}^5+\frac{1}{128}{a}^7$

Пример 8: Разложение ${(\frac{2}{c}+\frac{c}{2})}^8$

Шаг 1: Воспользуемся формулой бинома Ньютона для ${(\frac{2}{c}+\frac{c}{2})}^8$:

$${(\frac{2}{c}+\frac{c}{2})}^8=C_8^0\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^8+C_8^1\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^7\cdot \left(\frac{c}{2}\right)+C_8^2\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^6\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^2+\cdots +C_8^8\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^8$$

Шаг 2: Подставим биномиальные коэффициенты для $m=8$:

$$C_8^0=1,C_8^1=8,C_8^2=28,C_8^3=56,C_8^4=70,$$

$$C_8^5=56,C_8^6=28,C_8^7=8,C_8^8=1$$

Шаг 3: Разложим каждый член:

$C_8^0\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^8=\frac{256}{c^8}$

$C_8^1\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^7\cdot \left(\frac{c}{2}\right)=8\cdot \frac{128}{c^7}\cdot \frac{c}{2}=\frac{512}{c^6}$

$C_8^2\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^6\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^2=28\cdot \frac{64}{c^6}\cdot \frac{c^2}{4}=\frac{448}{c^4}$

$C_8^3\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^5\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^3=56\cdot \frac{32}{c^5}\cdot \frac{c^3}{8}=\frac{224}{c^2}$

$C_8^4\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^4\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^4=70\cdot \frac{16}{c^4}\cdot \frac{c^4}{16}=70$

$C_8^5\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^3\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^5=56\cdot \frac{8}{c^3}\cdot \frac{c^5}{32}=\frac{56c^2}{4c^3}=\frac{14c^2}{c^3}=\frac{14}{c}$

$C_8^6\cdot {\left(\frac{2}{c}\right)}^2\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^6=28\cdot \frac{4}{c^2}\cdot \frac{c^6}{64}=\frac{28c^4}{64c^2}=\frac{7c^4}{16c^2}$

$C_8^7\cdot \left(\frac{2}{c}\right)\cdot {\left(\frac{c}{2}\right)}^7=8\cdot \frac{2}{c}\cdot \frac{c^7}{128}=\frac{16c^6}{128c}=\frac{c^6}{8}$

Шаг 4: Сложим все члены:

$${(\frac{2}{c}+\frac{c}{2})}^8=\frac{256}{c^8}+\frac{512}{c^6}+\frac{448}{c^4}+\frac{224}{c^2}+70+14c^2+\frac{7}{4}{c}^4+\frac{1}{8}{c}^6$$

Ответ: ${(\frac{2}{c}+\frac{c}{2})}^8=\frac{256}{c^8}+\frac{512}{c^6}+\frac{448}{c^4}+\frac{224}{c^2}+70+14c^2+\frac{7}{4}{c}^4+\frac{1}{8}{c}^6$