ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 430 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. sin пи/2 + sin 3пи/2;
2. sin(-пи/2) + cos пи/2;
3. sin пи — cos пи;
4. sin0-cos2пи;
5. sin пи + sin 1,5пи;
6. sin0 + cos2пи.

1. $\sin \frac{\pi}{2} + \sin \frac{3\pi}{2} = 1 + (-1) = 1 — 1 = 0$;
2. $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) + \cos \frac{\pi}{2} = \sin \left(\frac{3\pi}{2} — 2\pi\right) + 0 = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$;
3. $\sin \pi — \cos \pi = 0 — (-1) = 0 + 1 = 1$;
4. $\sin 0 — \cos 2\pi = 0 — 1 = -1$;
5. $\sin \pi + \sin 1,5\pi = 0 + \sin \frac{15\pi}{10} = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$;
6. $\sin 0 + \cos 2\pi = 0 + 1 = 1$

Задача:

Вычислить значения выражений, содержащих синусы и косинусы углов, заданных через $\pi$.

Общие сведения:

• $\sin$ и $\cos$ — это тригонометрические функции синуса и косинуса.
• Значения этих функций для основных углов, кратных $\frac{\pi}{2}$, известны и стандартны:

• При вычислениях иногда полезно использовать периодичность тригонометрических функций:

  $$\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta, \quad \cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$$

Подробное решение каждого выражения:

1) $\sin \frac{\pi}{2} + \sin \frac{3\pi}{2}$

• Вычисляем каждое слагаемое по отдельности.

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1 \quad \text{(по таблице)}$$ $$\sin \frac{3\pi}{2} = -1 \quad \text{(по таблице)}$$

• Складываем:

$$1 + (-1) = 1 — 1 = 0$$

2) $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) + \cos \frac{\pi}{2}$

• Сначала упрощаем угол:

$$\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{3\pi}{2} — 2\pi\right)$$

Поскольку $\sin$ периодичен с периодом $2\pi$, то

$$\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{3\pi}{2}$$

• По таблице:

$$\sin \frac{3\pi}{2} = -1$$

• Далее

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0$$

• Складываем:

$$-1 + 0 = -1$$

3) $\sin \pi — \cos \pi$

• По таблице:

$$\sin \pi = 0, \quad \cos \pi = -1$$

• Вычитаем:

$$0 — (-1) = 0 + 1 = 1$$

4) $\sin 0 — \cos 2\pi$

• По таблице:

$$\sin 0 = 0$$

• Поскольку $\cos$ периодичен с периодом $2\pi$:

$$\cos 2\pi = \cos 0 = 1$$

• Вычитаем:

$$0 — 1 = -1$$

5) $\sin \pi + \sin 1,5\pi$

• Заметим, что $1.5 \pi = \frac{3\pi}{2}$ (переходим к дробной записи).
• По таблице:

$$\sin \pi = 0$$ $$\sin \frac{3\pi}{2} = -1$$

• Складываем:

$$0 + (-1) = -1$$

6) $\sin 0 + \cos 2\pi$

• По таблице:

$$\sin 0 = 0$$ $$\cos 2\pi = 1$$

• Складываем:

$$0 + 1 = 1$$

Итог: