ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 673 Алимов — Подробные Ответы

1. sin2 x + sin2 2x = 1;
2. sin2 x + cos2 2x = 1;
3. sin 4x = 6 cos2 2x — 4;
4. 2 cos2 3x + sin 5x — 1

${\mathrm{1.\; sin}}^{2}x+{\sin }^{2}2x=1$;

$${\sin }^{2}2x=1-{\sin }^{2}x;$$$$4\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x;$$$$4\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x=0;$$$${\cos }^{2}x\cdot (4{\sin }^{2}x-1)=0;$$

Первое уравнение:

$${\cos }^{2}x=0;$$$$\cos x=0;$$$$x=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$

Второе уравнение:

$$4{\sin }^{2}x-1=0;$$$$4{\sin }^{2}x=1;$$$${\sin }^{2}x=\frac{1}{4};$$$$\sin x=\pm \frac{1}{2};$$$$x_1=(-1{)}^{n+1}\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n;$$$$x_2=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi }{2}+\pi n;\pm \frac{\pi }{6}+\pi n\mathrm{.}$

${\mathrm{2.\; sin}}^{2}x+{\cos }^{2}2x=1$;

$${\cos }^{2}2x=1-{\sin }^{2}x;$$$$({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x{)}^2={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x;$$$${\cos }^{4}x+{\sin }^{4}x-2{\cos }^{2}x\cdot {\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=0;$$$${\cos }^{4}x+(1-{\cos }^{2}x{)}^2-2{\cos }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)-{\cos }^{2}x=0;$$$${\cos }^{4}x+1-2{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x-2{\cos }^{2}x+2{\cos }^{4}x-{\cos }^{2}x=0;$$$$4{\cos }^{4}x-5{\cos }^{2}x+1=0;$$

Пусть $y={\cos }^{2}x$, тогда:

$$4y^2-5y+1=0;$$$$D=5^2-4\cdot 4=25-16=9,\text{тогда:}$$$$y_1=\frac{5-3}{2\cdot 4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4},y_2=\frac{5+3}{2\cdot 4}=1;$$

Первое уравнение:

$${\cos }^{2}x=1;$$$$\cos x=\pm 1;$$$$x_1=\pi -\arccos 1+2\pi n=\pi +2\pi n;$$$$x_2=\arccos 1+2\pi n=2\pi n;$$

Второе уравнение:

$${\cos }^{2}x=\frac{1}{4};$$$$\cos x=\pm \frac{1}{2};$$$$x_1=\pm (\pi -\arccos \frac{1}{2})+2\pi n=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n;$$$$x_2=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n;$$

Ответ: $\pi n;\pm \frac{\pi }{3}+\pi n\mathrm{.}$

$\mathrm{3.\; sin}4x=6{\cos }^{2}2x-4$;

$$2\sin 2x\cdot \cos 2x=6{\cos }^{2}2x-4({\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x);$$$$2\sin 2x\cdot \cos 2x=6{\cos }^{2}2x-4{\cos }^{2}2x-4{\sin }^{2}2x;$$$$2\sin 2x\cdot \cos 2x-2{\cos }^{2}2x+4{\sin }^{2}2x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}2x;$$$$2\mathrm{tg}2x-2+4{\mathrm{tg}}^{2}2x=0;$$

Пусть $y=\mathrm{tg}2x$, тогда:

$$2y^2+y-1=0;$$$$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{тогда:}$$$$y_1=\frac{-1-3}{2\cdot 2}=-1,y_2=\frac{-1+3}{2\cdot 2}=\frac{1}{2};$$

Первое уравнение:

$$\mathrm{tg}2x=-1;$$$$2x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n;$$$$x=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{\pi }{4}+\pi n)=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\mathrm{tg}2x=\frac{1}{2};$$$$2x=\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n;$$$$x=\frac{1}{2}\cdot (\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n)=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{2}\mathrm{.}$

$\mathrm{4.\; 2}{\cos }^{2}3x+\sin 5x=1$;

$$2{\cos }^{2}3x+\sin 5x-1=0;$$$$2{\cos }^{2}3x+\cos (\frac{\pi }{2}-5x)-{\cos }^{2}3x-{\sin }^{2}3x=0;$$$${\cos }^{2}3x-{\sin }^{2}3x+\cos (\frac{\pi }{2}-5x)=0;$$$$\cos 6x+\cos (\frac{\pi }{2}-5x)=0;$$$$2\cdot \cos \frac{6x+\frac{\pi }{2}}{2}\cdot \cos \frac{6x-\frac{\pi }{2}+5x}{2}=0;$$$$\cos (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})\cdot \cos (\frac{11x}{2}-\frac{\pi }{4})=0;$$

Первое уравнение:

$$\cos (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})=0;$$$$\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$$$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}+\pi n=\frac{2\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+\pi n=\frac{\pi }{4}+\pi n;$$$$x=2\cdot (\frac{\pi }{4}+\pi n)=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos (\frac{11x}{2}-\frac{\pi }{4})=0;$$$$\frac{11x}{2}-\frac{\pi }{4}=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$$$\frac{11x}{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}+\pi n=\frac{2\pi }{4}+\frac{\pi }{4}+\pi n=\frac{3\pi }{4}+\pi n;$$$$x=\frac{2}{11}\cdot (\frac{3\pi }{4}+\pi n)=\frac{6\pi }{44}+\frac{2\pi n}{11}=\frac{3\pi }{22}+\frac{2\pi n}{11};$$

Ответ: $\frac{\pi }{2}+2\pi n;\frac{3\pi }{22}+\frac{2\pi n}{11}\mathrm{.}$

1) Уравнение:

$${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x=1.$$

Шаг 1. Выразим ${\sin }^{2}2x$ через $\sin x$ и $\cos x$

По определению:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$

значит:

$${\sin }^{2}2x=(2\sin x\cos x{)}^2=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\mathrm{.}$$

Подставляем в уравнение:

$${\sin }^{2}x+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1.$$

Шаг 2. Приведём уравнение к удобному виду

Перепишем:

$${\sin }^{2}x+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1.$$

Выносим ${\sin }^{2}x$ за скобки в первой части:

$${\sin }^{2}x(1+4{\cos }^{2}x)=1.$$

Однако для решения проще раскрыть:

$${\sin }^{2}x+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1.$$

Вспомним, что ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, но пока оставим выражение как есть.

Шаг 3. Перепишем $1$ как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$

$${\sin }^{2}x+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\mathrm{.}$$

Вычитаем ${\sin }^{2}x$ с обеих сторон:

$$4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x={\cos }^{2}x\mathrm{.}$$

Шаг 4. Переносим все в одну сторону:

$$4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x=0.$$

Вынесем ${\cos }^{2}x$ за скобки:

$${\cos }^{2}x(4{\sin }^{2}x-1)=0.$$

Шаг 5. Разбиваем на два уравнения:

1. ${\cos }^{2}x=0$,
2. $4{\sin }^{2}x-1=0$.

Решение первого уравнения:

$${\cos }^{2}x=0⟹\cos x=0.$$

Значение $\cos x=0$ достигается при:

$$x=\arccos 0+2\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Решение второго уравнения:

$$4{\sin }^{2}x-1=0⟹4{\sin }^{2}x=1⟹{\sin }^{2}x=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

Значит:

$$\sin x=\pm \frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 6. Находим решения для $\sin x=\pm \frac{1}{2}$

Общее решение уравнения $\sin x=a$ записывается так:

$$x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Для $a=\frac{1}{2}$, $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, следовательно:

$$x_1=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n,$$

для $\sin x=-\frac{1}{2}$, а

$$x_2=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n,$$

для $\sin x=\frac{1}{2}$.

Итог решения 1:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n\mathrm{.}}}$$

2) Уравнение:

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}2x=1.$$

Шаг 1. Выразим ${\cos }^{2}2x$

Известно, что:

$$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\mathrm{.}$$

Значит:

$${\cos }^{2}2x=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x{)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 2. Подставим в уравнение

$${\sin }^{2}x+({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x{)}^2=1.$$

Шаг 3. Раскроем квадрат

$$({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x{)}^2={\cos }^{4}x-2{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x\mathrm{.}$$

Тогда уравнение:

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{4}x-2{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x=1.$$

Шаг 4. Заменим ${\sin }^{2}x$ на $1-{\cos }^{2}x$ (для удобства):

$$(1-{\cos }^{2}x)+{\cos }^{4}x-2{\cos }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)+(1-{\cos }^{2}x{)}^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$1-{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x-2{\cos }^{2}x+2{\cos }^{4}x+1-2{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x=1.$$

Шаг 5. Соберём подобные слагаемые:

Сумма всех ${\cos }^{4}x$:

$${\cos }^{4}x+2{\cos }^{4}x+{\cos }^{4}x=4{\cos }^{4}x\mathrm{.}$$

Сумма всех ${\cos }^{2}x$:

$$-{\cos }^{2}x-2{\cos }^{2}x-2{\cos }^{2}x=-5{\cos }^{2}x\mathrm{.}$$

Константы:

$$1+1=2.$$

Получаем:

$$2+4{\cos }^{4}x-5{\cos }^{2}x=1.$$

Шаг 6. Переносим 1 вправо:

$$4{\cos }^{4}x-5{\cos }^{2}x+2=1,$$

или

$$4{\cos }^{4}x-5{\cos }^{2}x+1=0.$$

Шаг 7. Обозначим $y={\cos }^{2}x$, тогда уравнение становится квадратичным:

$$4y^2-5y+1=0.$$

Шаг 8. Находим дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 4\cdot 1=25-16=9.$$

Шаг 9. Находим корни:

$$y_1=\frac{5-3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4},y_2=\frac{5+3}{8}=\frac{8}{8}=1.$$

Шаг 10. Решаем уравнения:

• Для $y_2=1$:

$${\cos }^{2}x=1⟹\cos x=\pm 1.$$$$x=2\pi n\text{(при }\cos x=1\text{)},$$$$x=\pi +2\pi n\text{(при }\cos x=-1\text{)}\mathrm{.}$$

• Для $y_1=\frac{1}{4}$:

$${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}⟹\cos x=\pm \frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 11. Находим решения для $\cos x=\pm \frac{1}{2}$:

$$\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Общее решение:

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,$$

или

$$x=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

Итог решения 2:

$$\boxed{{\displaystyle x=\pi n;x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n\mathrm{.}}}$$

3) Уравнение:

$$\sin 4x=6{\cos }^{2}2x-4.$$

Шаг 1. Запишем левую часть через произведение:

$$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x\mathrm{.}$$

Шаг 2. Подставим:

$$2\sin 2x\cos 2x=6{\cos }^{2}2x-4.$$

Шаг 3. Используем формулу ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$:

В правой части можно представить

$$6{\cos }^{2}2x-4({\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x)=6{\cos }^{2}2x-4{\cos }^{2}2x-4{\sin }^{2}2x=2{\cos }^{2}2x-4{\sin }^{2}2x\mathrm{.}$$

Однако по тексту идет немножко иначе, сделаем по шагам.

Шаг 4. Переносим все в левую часть:

$$2\sin 2x\cos 2x-6{\cos }^{2}2x+4=0.$$

Или

$$2\sin 2x\cos 2x-2{\cos }^{2}2x+4{\sin }^{2}2x=0,$$

так как $4=4({\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x)$ и замена сделана.

Шаг 5. Делим на ${\cos }^{2}2x$ (при условии $\cos 2x\mathrm{\ne }0$):

$$2\tan 2x-2+4{\tan }^{2}2x=0,$$

где $\tan 2x=y$.

Шаг 6. Получаем квадратное уравнение:

$$4y^2+2y-2=0.$$

Шаг 7. Найдем дискриминант:

$$D=2^2-4\cdot 4\cdot (-2)=4+32=36.$$

Шаг 8. Корни:

$$y=\frac{-2\pm 6}{8}\mathrm{.}$$

Шаг 9. Первый корень:

$$y_1=\frac{-2-6}{8}=\frac{-8}{8}=-1.$$

Второй корень:

$$y_2=\frac{-2+6}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 10. Решаем $\tan 2x=y$:

• Для $y_1=-1$:

$$2x=\arctan (-1)+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n\mathrm{.}$$$$x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2}\mathrm{.}$$

• Для $y_2=\frac{1}{2}$:

$$2x=\arctan \frac{1}{2}+\pi n,$$$$x=\frac{1}{2}\arctan \frac{1}{2}+\frac{\pi n}{2}\mathrm{.}$$

Итог решения 3:

$$\boxed{{\displaystyle x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2};x=\frac{1}{2}\arctan \frac{1}{2}+\frac{\pi n}{2}\mathrm{.}}}$$

4) Уравнение:

$$2{\cos }^{2}3x+\sin 5x=1.$$

Шаг 1. Переносим всё в левую часть:

$$2{\cos }^{2}3x+\sin 5x-1=0.$$

Шаг 2. Заменим $\sin 5x$ через косинус:

$$\sin 5x=\cos (\frac{\pi }{2}-5x)\mathrm{.}$$

Подставляем:

$$2{\cos }^{2}3x+\cos (\frac{\pi }{2}-5x)-1=0.$$

Шаг 3. Используем $1={\cos }^{2}3x+{\sin }^{2}3x$:

$$2{\cos }^{2}3x-({\cos }^{2}3x+{\sin }^{2}3x)+\cos (\frac{\pi }{2}-5x)=0,$$

или

$${\cos }^{2}3x-{\sin }^{2}3x+\cos (\frac{\pi }{2}-5x)=0.$$

Шаг 4. Распознаём ${\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\cos 2a$:

$$\cos 6x+\cos (\frac{\pi }{2}-5x)=0.$$

Шаг 5. Применяем формулу суммы косинусов:

$$\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\mathrm{.}$$

Считаем:

$$A=6x,B=\frac{\pi }{2}-5x\mathrm{.}$$

Шаг 6. Считаем суммы и разности:

$$\frac{A+B}{2}=\frac{6x+\frac{\pi }{2}-5x}{2}=\frac{x+\frac{\pi }{2}}{2}=\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$$$\frac{A-B}{2}=\frac{6x-(\frac{\pi }{2}-5x)}{2}=\frac{6x-\frac{\pi }{2}+5x}{2}=\frac{11x-\frac{\pi }{2}}{2}=\frac{11x}{2}-\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

Шаг 7. Уравнение принимает вид:

$$2\cos (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})\cdot \cos (\frac{11x}{2}-\frac{\pi }{4})=0.$$

Шаг 8. Решаем по отдельности:

• $\cos (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})=0$,
• $\cos (\frac{11x}{2}-\frac{\pi }{4})=0$.

Решение первого уравнения:

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n\mathrm{.}$$

Выражаем $x$:

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}+\pi n=\frac{\pi }{4}+\pi n,$$$$x=2\cdot (\frac{\pi }{4}+\pi n)=\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$$

Решение второго уравнения:

$$\frac{11x}{2}-\frac{\pi }{4}=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n\mathrm{.}$$

Выражаем $x$:

$$\frac{11x}{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}+\pi n=\frac{3\pi }{4}+\pi n,$$$$x=\frac{2}{11}\cdot (\frac{3\pi }{4}+\pi n)=\frac{3\pi }{22}+\frac{2\pi n}{11}\mathrm{.}$$

Итог решения 4:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n;x=\frac{3\pi }{22}+\frac{2\pi n}{11}\mathrm{.}}}$$