ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 137 Алимов — Подробные Ответы

На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной данной; найти область определения и множество значений каждой из них:

1. y=3x-1;
2. y=(2x-1)/3;
3. y=x2-1 при x > = 0;
4. y= (x-1)2 при x > =1;
5. y=x3-2;
6. y=(x-1)3;
7. y= корень (x-1);
8. y= корень x + 1.

1) $y = 3x — 1$

Основная функция:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$
• Множество значений: $y \in \mathbb{R}$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & -1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Обратная функция:

$$x = 3y — 1 \\ 3y = x + 1 \\ y = \frac{x + 1}{3}$$

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$
• Множество значений: $y \in \mathbb{R}$

$$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 2& 0\\ y& 1& \frac{1}{3}\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 2 & 0 \\ \hline y & 1 & \frac{1}{3} \\ \hline \end{array}$$2) $y = \frac{2x — 1}{3}$

Основная функция:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$
• Множество значений: $y \in \mathbb{R}$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 2 \\ \hline y & -1 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Обратная функция:

$$x = \frac{2y — 1}{3} \\ 3x = 2y — 1 \\ 2y = 3x + 1 \\ y = \frac{3x + 1}{2}$$

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$
• Множество значений: $y \in \mathbb{R}$

$$\overline{)\begin{array}{ccc}x& -1& 1\\ y& -1& 2\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 \\ \hline y & -1 & 2 \\ \hline \end{array}$$3) $y = x^2 — 1$, при $x \geq 0$

Основная функция:

• Область определения: $x \geq 0$
• Множество значений: $y \geq -1$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -1 & 0 & 3 & 8 \\ \hline \end{array}$$

Обратная функция:

$$x = y^2 — 1 \\ y^2 = x + 1 \\ y = \sqrt{x + 1}$$

• Область определения: $x \geq -1$
• Множество значений: $y \geq 0$

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -1& 0& 3& 8\\ y& 0& 1& 2& 3\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 3 & 8 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$$

4) $y = (x — 1)^2$, при $x \geq 1$

Основная функция:

• Область определения: $x \geq 1$
• Множество значений: $y \geq 0$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}$$

Обратная функция:

$$x = (y — 1)^2 \\ \sqrt{x} = y — 1 \\ y = \sqrt{x} + 1$$

• Область определения: $x \geq 0$
• Множество значений: $y \geq 1$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline y & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \end{array}$$

5) $y = x^3 — 2$

Основная функция:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$
• Множество значений: $y \in \mathbb{R}$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -10 & -3 & -2 & -1 & 6 \\ \hline \end{array}$$

Обратная функция:

$$x = y^3 — 2 \\ y^3 = x + 2 \\ y = \sqrt[3]{x + 2}$$

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$
• Множество значений: $y \in \mathbb{R}$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -10 & -3 & -2 & -1 & 6 \\ \hline y & -1 & 0 & 1 & 2 & \sqrt[3]{8} = 2 \\ \hline \end{array}$$

6) $y = (x — 1)^3$

Основная функция:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$
• Множество значений: $y \in \mathbb{R}$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\ \hline \end{array}$$

Обратная функция:

$$x = (y — 1)^3 \\ \sqrt[3]{x} = y — 1 \\ y = \sqrt[3]{x} + 1$$

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$
• Множество значений: $y \in \mathbb{R}$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 & \\ \hline \end{array}$$

7) $y = \sqrt{x — 1}$

Основная функция:

• Область определения: $x \geq 1$
• Множество значений: $y \geq 0$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 5 & 10 \\ \hline y & 0 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$$

Обратная функция:

$$x = \sqrt{y — 1} \\ x^2 = y — 1 \\ y = x^2 + 1$$

• Область определения: $x \geq 0$
• Множество значений: $y \geq 1$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 1 & 5 & 10 \\ \hline \end{array}$$

8) $y = \sqrt{x} + 1$

Основная функция:

• Область определения: $x \geq 0$
• Множество значений: $y \geq 1$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 4 & 9 \\ \hline y & 1 & 3 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Обратная функция:

$$x = \sqrt{y} + 1 \\ \sqrt{y} = x — 1 \\ y = (x — 1)^2$$

• Область определения: $x \geq 1$
• Множество значений: $y \geq 0$

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 1& 3& 4\\ y& 0& 4& 9\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 4 \\ \hline y & 0 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}$$

1) $y = 3x — 1$

Тип:

Линейная функция: коэффициент наклона $k = 3$, график — прямая.

Алгебраическое обращение:

$$y = 3x — 1 \Rightarrow x = \frac{y + 1}{3} \Rightarrow y^{-1} = \frac{x + 1}{3}$$

Взаимная проверка:

Подставим в оригинал:

$$y\left(\frac{x + 1}{3}\right) = 3 \cdot \frac{x + 1}{3} — 1 = x + 1 — 1 = x$$

Область и значения:

• Оригинал: $x \in \mathbb{R},\ y \in \mathbb{R}$
• Обратная: $x \in \mathbb{R},\ y \in \mathbb{R}$

Монотонность:

Обе функции строго возрастает, т.к. производные положительны.

2) $y = \frac{2x — 1}{3}$

Тип:

Линейная, наклон $k = \frac{2}{3}$, график — прямая.

Алгебраическое обращение:

$$y = \frac{2x — 1}{3} \Rightarrow 3y = 2x — 1 \Rightarrow x = \frac{3y + 1}{2}$$

Проверка:

$$y\left(\frac{3x + 1}{2}\right) = \frac{2 \cdot \left(\frac{3x + 1}{2}\right) — 1}{3} = \frac{3x + 1 — 1}{3} = x$$

Область и значения:

Нет ограничений: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Монотонность:

Обе функции строго возрастает.

3) $y = x^2 — 1$, $x \geq 0$

Тип:

Частичная парабола. Ограничено снизу: $y \geq -1$

Обратная:

$$y = x^2 — 1 \Rightarrow x = \sqrt{y + 1}$$

Проверка:

$$y(\sqrt{x + 1}) = (\sqrt{x + 1})^2 — 1 = x + 1 — 1 = x$$

Области:

• Оригинал: $x \geq 0,\ y \geq -1$
• Обратная: $x \geq -1,\ y \geq 0$

Монотонность:

• Оригинал: возрастает на $[0, \infty)$
• Обратная: тоже возрастает

4) $y = (x — 1)^2$, $x \geq 1$

Тип:

Смещение параболы вправо на 1.

Обратная:

$$y = (x — 1)^2 \Rightarrow x = \sqrt{y} + 1$$

Проверка:

$$y(\sqrt{x} + 1) = (\sqrt{x})^2 = x$$

Области:

• Оригинал: $x \geq 1,\ y \geq 0$
• Обратная: $x\ge 0,y\ge 1$

$x \geq 0,\ y \geq 1$

5) $y = x^3 — 2$

Тип:

Кубическая функция (нечётная), определена на всей $\mathbb{R}$

Обратная:

$$y = x^3 — 2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{y + 2}$$

Проверка:

$$y(\sqrt[3]{x + 2}) = (\sqrt[3]{x + 2})^3 — 2 = x + 2 — 2 = x$$

Области:

• Оригинал и обратная: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Монотонность:

Строго возрастает на всей области

6) $y = (x — 1)^3$

Тип:

Кубическая функция, сдвинута вправо на 1.

Обратная:

$$y = (x — 1)^3 \Rightarrow x = \sqrt[3]{y} + 1$$

Проверка:

$$y(\sqrt[3]{x} + 1) = (\sqrt[3]{x})^3 = x$$

Области:

Нет ограничений, вся $\mathbb{R}$

Монотонность:

Обратимая без ограничений — функция строго возрастает

7) $y = \sqrt{x — 1}$

Тип:

Корневая функция, определена при $x \geq 1$

Обратная:

$$x = \sqrt{y — 1} \Rightarrow y = x^2 + 1$$

Проверка:

$$y(\sqrt{x — 1}) = (\sqrt{x — 1})^2 + 1 = x$$

Области:

• Оригинал: $x \geq 1,\ y \geq 0$
• Обратная: $x \geq 0,\ y \geq 1$

Монотонность:

Обе функции возрастают

8) $y = \sqrt{x} + 1$

Тип:

Корневая функция, вертикальный сдвиг на 1 вверх

Обратная:

$$x = \sqrt{y} + 1 \Rightarrow \sqrt{y} = x — 1 \Rightarrow y = (x — 1)^2$$

Проверка:

$$y(\sqrt{x} + 1) = (\sqrt{x})^2 = x$$

Области:

• Оригинал: $x \geq 0,\ y \geq 1$
• Обратная: $x \geq 1,\ y \geq 0$

Монотонность:

Обе функции возрастают на своих ОДЗ

Итог