ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1549 Алимов — Подробные Ответы

Показать, что f'(1) = f'(0), если f (х) = (2х — 3) (Зх2 + 1).

Дана функция:

$$f(x) = (2x — 3)(3x^2 + 1);$$

Производная функции:

$$f'(x) = (2x — 3)’ \cdot (3x^2 + 1) + (2x — 3) \cdot (3x^2 + 1)’;$$ $$f'(x) = 2 \cdot (3x^2 + 1) + (2x — 3) \cdot (3 \cdot 2x);$$ $$f'(x) = 6x^2 + 2 + 12x^2 — 18x;$$ $$f'(x) = 18x^2 — 18x + 2;$$

Покажем, что $f'(1) = f'(0)$:

$$f'(1) = 18 \cdot 1^2 — 18 \cdot 1 + 2 = 18 \cdot 1 + 2 = 18 — 18 + 2 = 2;$$ $$f'(0) = 18 \cdot 0^2 — 18 \cdot 0 + 2 = 0 — 0 + 2 = 2;$$

Нам дана функция:

$$f(x) = (2x — 3)(3x^2 + 1),$$

и нужно найти её производную $f'(x)$, а также показать, что $f'(1) = f'(0)$.

1. Нахождение производной функции $f(x)$:

Функция $f(x)$ представляет собой произведение двух функций:

$$f(x) = (2x — 3)(3x^2 + 1).$$

Для нахождения производной $f'(x)$, применим формулу произведения:

$$(fg)’ = f’g + fg’,$$

где $f(x) = 2x — 3$ и $g(x) = 3x^2 + 1$.

Нахождение производной $f(x) = 2x — 3$:

$$f'(x) = (2x — 3)’ = 2.$$

Нахождение производной $g(x) = 3x^2 + 1$:

$$g'(x) = (3x^2 + 1)’ = 6x.$$

Теперь, по формуле произведения, вычислим производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) = 2 \cdot (3x^2 + 1) + (2x — 3) \cdot (6x).$$

Раскрываем скобки:

$$f'(x) = 2(3x^2 + 1) + (2x — 3)(6x).$$

Первое слагаемое:

$$2(3x^2 + 1) = 6x^2 + 2.$$

Второе слагаемое:

$$(2x — 3)(6x) = 12x^2 — 18x.$$

Теперь сложим все слагаемые:

$$f'(x) = 6x^2 + 2 + 12x^2 — 18x.$$

Преобразуем выражение:

$$f'(x) = 18x^2 — 18x + 2.$$

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$$f'(x) = 18x^2 — 18x + 2.$$

2. Нахождение $f'(1)$ и $f'(0)$:

Теперь нам нужно найти значения производной в точках $x = 1$ и $x = 0$, и показать, что $f'(1) = f'(0)$.

Нахождение $f'(1)$:

Подставим $x = 1$ в выражение для производной:

$$f'(1) = 18 \cdot 1^2 — 18 \cdot 1 + 2.$$

Вычислим:

$$f'(1) = 18 \cdot 1 — 18 + 2 = 18 — 18 + 2 = 2.$$

Нахождение $f'(0)$:

Подставим $x = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = 18 \cdot 0^2 — 18 \cdot 0 + 2.$$

Вычислим:

$$f'(0) = 0 — 0 + 2 = 2.$$

3. Вывод:

Мы получили:

$$f'(1) = 2 \quad \text{и} \quad f'(0) = 2.$$

Таким образом, $f'(1) = f'(0)$, как и требовалось доказать.