ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 451 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения углов а, заключённых в промежутке от 0 до 2пи, знаки синуса и косинуса которых совпадают; различны.

Найти значения углов $\alpha$ в промежутке от 0 до $2\pi$, знаки синуса и косинуса которых совпадают/различны;

Если точка, полученная поворотом, находится в:

• I четверти, тогда $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$;
• II четверти, тогда $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$;
• III четверти, тогда $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$;
• IV четверти, тогда $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$;

Знаки совпадают в I и III четвертях, то есть при:

$$0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2};$$

Знаки различны во II и IV четвертях, то есть при:

$$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \quad \text{и} \quad \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi;$$

Шаг 1. Определение четвертей и знаков синуса и косинуса

Единичная тригонометрическая окружность разбита на четыре четверти:

Шаг 2. Анализ совпадения знаков

• Знаки $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ совпадают, когда оба положительны или оба отрицательны.
• Это происходит в:
  • I четверти: $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$
  • III четверти: $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$

Интервалы:

$$0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$

Шаг 3. Анализ различия знаков

• Знаки различаются, когда один положителен, а другой отрицателен.
• Это происходит в:
  • II четверти: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$
  • IV четверти: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$

Интервалы:

$$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \quad \text{и} \quad \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$

Шаг 4. Итоговое решение

• Знаки совпадают при:

$$0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$

• Знаки различаются при:

$$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \quad \text{и} \quad \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$

Дополнительные пояснения

• На границах четвертей (например, при $\alpha = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$) значения синуса и косинуса равны нулю, поэтому там знак строго не определён.
• Углы $\alpha$ берутся в интервале от $0$ до $2\pi$, не включая границы, если не указано иное.
• Графики функций $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ помогут визуально убедиться в поведении знаков в каждом интервале.