ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 578 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения cos4x = корень 2/2, удовлетворяющие неравенству |х| < пи/4.

$$\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$4x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2};$$

Все корни уравнения, модуль которых $|x| < \frac{\pi}{4}$:

$$x_1 = -\frac{\pi}{16} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{\pi}{16};$$

Дано уравнение:

$$\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 1: Найти общий вид решений уравнения $\cos \theta = a$

Для уравнения

$$\cos \theta = a,$$

общее решение имеет вид:

$$\theta = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2: Найти $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$

Известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Отсюда:

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3: Записать общее решение для $4x$

$$4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4: Выразить $x$

Делим обе части уравнения на 4:

$$x = \frac{1}{4} \left( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 5: Найти корни уравнения с модулем меньше $\frac{\pi}{4}$

Нужно найти все решения $x$, удовлетворяющие:

$$|x| < \frac{\pi}{4}$$

Шаг 6: Проверяем решения при разных значениях $n$

• При $n = 0$:

$$x = \pm \frac{\pi}{16} \approx \pm 0.196$$

Поскольку

$$\frac{\pi}{4} \approx 0.785,$$

то

$$|x| = \frac{\pi}{16} < \frac{\pi}{4}$$

удовлетворяет условию.

• При $n = \pm 1$:

$$x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} \approx \pm 0.196 + 1.570$$

Для $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} \approx 1.766$,
а для $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} \approx 1.374$, оба значения больше $\frac{\pi}{4}$.

Аналогично для $n = -1$:

$$x = \pm \frac{\pi}{16} — \frac{\pi}{2} \approx \pm 0.196 — 1.570$$

Значения меньше $-\frac{\pi}{4}$.

Вывод:

Единственные корни с модулем меньше $\frac{\pi}{4}$ — это:

$$x_1 = -\frac{\pi}{16}, \quad x_2 = \frac{\pi}{16}$$