ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 328 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. У = log4 (x — 1);
2. у = log0,3 (1 + х);
3. у = log3 (х2 + 2х);
4. у = log корень 2(4 — х2).

Найти область определения функции:

$\mathrm{1.\; y}={\log }_4(x-1)$;
Выражение имеет смысл при:
$x-1>0$, отсюда $x>1$;
Ответ: $x>1$.

$\mathrm{2.\; y}={\log }_{0.3}(1+x)$;
Выражение имеет смысл при:
$1+x>0$, отсюда $x>-1$;
Ответ: $x>-1$.

$\mathrm{3.\; y}={\log }_3(x^2+2x)$;
Выражение имеет смысл при:
$x^2+2x>0$;
$(x+2)x>0$;
$x<-2$ и $x>0$;
Ответ: $x<-2$; $x>0$.

$\mathrm{4.\; y}={\log }_{\sqrt{2}}(4-x^2)$;
Выражение имеет смысл при:
$4-x^2>0$;
$x^2-4<0$;
$(x+2)(x-2)<0$;
$-2<x<2$;
Ответ: $-2<x<2$.

1) $y={\log }_4(x-1)$

Решение:

1. Логарифм определён только для положительных чисел, т.е. подлогарифмическое выражение должно быть больше 0:$$x-1>0$$
2. Решаем неравенство:$$x>1$$
3. Основание логарифма $4>1$, но для ОДЗ это не имеет значения — важна только область определения подлогарифмического выражения.

Ответ: $x>1$

2) $y={\log }_{0.3}(1+x)$

Решение:

1. Подлогарифмическое выражение должно быть положительным:$$1+x>0$$
2. Решаем:$$x>-1$$
3. Основание $0.3$ — это число от 0 до 1. Это влияет на монотонность функции, но не влияет на ОДЗ.

Ответ: $x>-1$

3) $y={\log }_3(x^2+2x)$

Решение:

1. Подлогарифмическое выражение должно быть положительным:$$x^2+2x>0$$
2. Решим это неравенство методом интервалов:
   • Раскроем выражение:$$x^2+2x=x(x+2)$$
   • Найдём нули: $x=0$ и $x=-2$
   • Разметим интервалы:
     $(-\mathrm{\infty },-2)$, $(-2,0)$, $(0,+\mathrm{\infty })$
   • Проверим знак на каждом интервале:
     • $x=-3$: $(-3)(-1)=3>0$
     • $x=-1$: $(-1)(1)=-1<0$
     • $x=1$: $(1)(3)=3>0$
   • Учитываем только те области, где выражение положительно:$$x<-2\text{и}x>0$$

Точки $x=-2$ и $x=0$ не включаются, так как подлогарифмическое выражение в них равно нулю, а логарифм от 0 не существует.

Ответ: $x<-2$; $x>0$

4) $y={\log }_{\sqrt{2}}(4-x^2)$

Решение:

1. Подлогарифмическое выражение должно быть положительным:$$4-x^2>0$$
2. Преобразуем:$$-x^2+4>0\Rightarrow x^2<4$$
3. Из неравенства $x^2<4$ следует:$$-2<x<2$$
4. Проверка: логарифм определён при положительном выражении, поэтому границы не включаются.

Ответ: $-2<x<2$