ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 602 Алимов — Подробные Ответы

1. sin(arccos2/3);
2. sin(arccos(-1/2)).

1. $\sin (\arccos \frac{2}{3})=\sqrt{1-{\cos }^2(\arccos \frac{2}{3})}=\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{9}-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
2. $\sin (\arccos (-\frac{1}{2}))=\sqrt{1-{\cos }^2(\arccos (-\frac{1}{2}))}=\sqrt{1-{(-\frac{1}{2})}^2}=$

$=\sqrt{\frac{4}{4}-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Пример 1: $\sin (\arccos \frac{2}{3})$

1. Понимание задачи:

$\arccos \frac{2}{3}$ — это угол $\theta$, такой что $\cos \theta =\frac{2}{3}$. Необходимо найти $\sin \theta$, если $\cos \theta =\frac{2}{3}$.

2. Используем основное тригонометрическое тождество:

Из основного тригонометрического тождества:

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

Можем выразить ${\sin }^2\theta$ через ${\cos }^2\theta$:

$${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$$

Подставляем $\cos \theta =\frac{2}{3}$:

$${\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2$$

3. Вычисляем ${\cos }^2\theta$:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$$

Тогда:

$${\sin }^2\theta =1-\frac{4}{9}=\frac{9}{9}-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$$

4. Находим $\sin \theta$:

Теперь, чтобы найти $\sin \theta$, берём квадратный корень из обеих сторон:

$$\sin \theta =\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

5. Ответ:

$$\sin (\arccos \frac{2}{3})=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

Пример 2: $\sin (\arccos (-\frac{1}{2}))$

1. Понимание задачи:

$\arccos (-\frac{1}{2})$ — это угол $\theta$, такой что $\cos \theta =-\frac{1}{2}$. Нужно найти $\sin \theta$, если $\cos \theta =-\frac{1}{2}$.

2. Используем основное тригонометрическое тождество:

Используем то же тригонометрическое тождество:

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

Из этого тождества выражаем ${\sin }^2\theta$:

$${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$$

Подставляем $\cos \theta =-\frac{1}{2}$:

$${\sin }^2\theta =1-{(-\frac{1}{2})}^2$$

3. Вычисляем ${\cos }^2\theta$:

$${(-\frac{1}{2})}^2=\frac{1}{4}$$

Тогда:

$${\sin }^2\theta =1-\frac{1}{4}=\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

4. Находим $\sin \theta$:

Берём квадратный корень из обеих сторон:

$$\sin \theta =\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

5. Ответ:

$$\sin (\arccos (-\frac{1}{2}))=\frac{\sqrt{3}}{2}$$