ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 245 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\begin{cases} (5^x)^y = 5^{21} \\ 5^x \cdot 5^y = 5^{10} \\ 3^x > 3^y \end{cases};$$ $$\begin{cases} 5^{xy} = 5^{21} \\ 5^{x+y} = 5^{10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = 21 \\ x + y = 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy — 21 = 0 \\ y = 10 — x \end{cases};$$

Первое уравнение:

$$x(10 — x) — 21 = 0;$$ $$10x — x^2 — 21 = 0;$$ $$x^2 — 10x + 21 = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 21 = 100 — 84 = 16, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{10 — 4}{2} = 3 \text{ и } x_2 = \frac{10 + 4}{2} = 7;$$ $$y_1 = 10 — 3 = 7 \text{ и } y_2 = 10 — 7 = 3;$$

Ответ: $(7; 3)$.

2)

$$\begin{cases} (0.2^y)^x = 0.008 \\ 0.4^y = 0.4^{3.5-x} \\ 2^x \cdot 0.5^y > 1 \end{cases};$$ $$\begin{cases} 0.2^{xy} = 0.2^3 \\ 0.4^y = 0.4^{3.5-x} \\ 2^x \cdot 2^{-y} > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = 3 \\ 0.4^y \cdot 0.4^x = 0.4^{3.5} \\ 2^{x-y} > 2^0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = 3 \\ x + y = 3.5 \\ x — y > 0 \end{cases};$$ $$\begin{cases} xy — 3 = 0 \\ y = 3.5 — x \\ x > y \end{cases};$$

Первое уравнение:

$$x(3.5 — x) — 3 = 0;$$ $$3.5x — x^2 — 3 = 0 \quad | \cdot (-2);$$ $$2x^2 — 7x + 6 = 0;$$ $$D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ и } x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$ $$y_1 = 3.5 — 1.5 = 2 \text{ и } y_2 = 3.5 — 2 = 1.5;$$

Ответ: $(2; 1.5)$.

1) Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} (5^x)^y = 5^{21} \\ 5^x \cdot 5^y = 5^{10} \\ 3^x > 3^y \end{cases};$$

Переводим систему в удобную форму:

Первое уравнение $(5^x)^y = 5^{21}$:

Используем свойство степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Тогда:

$$(5^x)^y = 5^{xy}.$$

Получаем:

$$5^{xy} = 5^{21}.$$

Так как основания одинаковы, приравниваем показатели степеней:

$$xy = 21.$$

Второе уравнение $5^x \cdot 5^y = 5^{10}$:

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Тогда:

$$5^x \cdot 5^y = 5^{x+y}.$$

Получаем:

$$5^{x+y} = 5^{10}.$$

Так как основания одинаковы, приравниваем показатели степеней:

$$x + y = 10.$$

Итак, мы получили систему уравнений:

$$\begin{cases} xy = 21 \\ x + y = 10 \end{cases}.$$

Решаем систему:

Из уравнения $x + y = 10$ выразим $y$:

$$y = 10 — x.$$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение $xy = 21$:

$$x(10 — x) = 21.$$

Раскрываем скобки:

$$10x — x^2 = 21.$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 — 10x + 21 = 0.$$

Теперь решаем квадратное уравнение $x^2 — 10x + 21 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 — 84 = 16.$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 — 4}{2} = 3,$$ $$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 4}{2} = 7.$$

Теперь находим значения $y$:

Для $x_1 = 3$:

$$y_1 = 10 — 3 = 7.$$

Для $x_2 = 7$:

$$y_2 = 10 — 7 = 3.$$

Таким образом, возможные пары решений: $(x_1, y_1) = (3, 7)$ и $(x_2, y_2) = (7, 3)$.

Ответ: $(7; 3)$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} (0.2^y)^x = 0.008 \\ 0.4^y = 0.4^{3.5-x} \\ 2^x \cdot 0.5^y > 1 \end{cases};$$

Переводим систему в удобную форму:

Первое уравнение $(0.2^y)^x = 0.008$:

Используем свойство степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Тогда:

$$(0.2^y)^x = 0.2^{xy}.$$

Итак:

$$0.2^{xy} = 0.008.$$

Преобразуем $0.008$ в степень числа $0.2$:

$$0.008 = 2^{-3} = 0.2^3.$$

Теперь у нас есть:

$$0.2^{xy} = 0.2^3.$$

Так как основания одинаковы, приравниваем показатели степеней:

$$xy = 3.$$

Второе уравнение $0.4^y = 0.4^{3.5-x}$:

Так как основания одинаковы, приравниваем показатели степеней:

$$y = 3.5 — x.$$

Третье неравенство $2^x \cdot 0.5^y > 1$:

Используем свойство степеней: $0.5 = 2^{-1}$, следовательно:

$$2^x \cdot 0.5^y = 2^x \cdot 2^{-y} = 2^{x — y}.$$

Итак, неравенство становится:

$$2^{x — y} > 1.$$

Поскольку $2^0 = 1$, это означает, что:

$$x — y > 0,$$

или

$$x > y.$$

Теперь у нас есть система:

$$\begin{cases} xy = 3 \\ y = 3.5 — x \\ x > y \end{cases}.$$

Решаем систему:

Из уравнения $y = 3.5 — x$ подставляем $y$ в первое уравнение $xy = 3$:

$$x(3.5 — x) = 3.$$

Раскрываем скобки:

$$3.5x — x^2 = 3.$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 — 3.5x + 3 = 0.$$

Умножим на $-2$, чтобы избавиться от дробей:

$$2x^2 — 7x + 6 = 0.$$

Решаем квадратное уравнение $2x^2 — 7x + 6 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1.$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 — 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5,$$ $$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2.$$

Теперь находим значения $y$:

Для $x_1 = 1.5$:

$$y_1 = 3.5 — 1.5 = 2.$$

Для $x_2 = 2$:

$$y_2 = 3.5 — 2 = 1.5.$$

Ответ: $(2; 1.5)$.

Ответ:

1. $(7; 3)$
2. $(2; 1.5)$