ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 609 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить числа:

1. arctg(-1) и arcsin(-корень 3/2);
2. arctg корень 3 и arccos1/2;
3. arctg(-3) и arctg2;
4. arctg(-5) и arctg0.

$\arctg(-1) > \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

$\arctg(-1) = -\arctg 1 = -\frac{\pi}{4};$

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3};$

$-\frac{\pi}{4} > -\frac{\pi}{3};$

$\arctg \sqrt{3} = \arccos\frac{1}{2};$

$\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3};$

$\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$

$\arctg(-3) < \arctg 2;$

$\arctg(-3) = -\arctg 3 < 0;$

$\arctg 2 > 0 > \arctg(-3);$

$\arctg(-5) < \arctg 0;$

$\arctg(-5) = -\arctg 5 < 0;$

$\arctg 0 = 0 > \arctg(-5);$

1. $\arctg(-1) > \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Шаг 1. Рассмотрим $\arctg(-1)$

$\operatorname{arctg}(x)$ — это функция, которая возвращает угол $\theta$, такой что $\tan(\theta) = x$ и $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$. Нам нужно найти угол, для которого $\tan(\theta) = -1$.

Из стандартных значений тангенса известно, что:

$$\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1.$$

Следовательно, мы имеем:

$$\arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2. Рассмотрим $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\operatorname{arcsin}(x)$ — это функция, которая возвращает угол $\theta$, такой что $\sin(\theta) = x$ и $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$. Нам нужно найти угол, для которого $\sin(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из стандартных значений синуса известно, что:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно, мы имеем:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3. Сравниваем $\arctg(-1)$ и $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Теперь нам нужно сравнить два угла:

$$-\frac{\pi}{4} \text{ и } -\frac{\pi}{3}.$$

Заметим, что $-\frac{\pi}{4}$ — это больше, чем $-\frac{\pi}{3}$, потому что $\frac{\pi}{4}$ меньше, чем $\frac{\pi}{3}$, а при отрицательных углах это значит, что $-\frac{\pi}{4} > -\frac{\pi}{3}$.

Следовательно:

$$\arctg(-1) > \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$

2. $\arctg \sqrt{3} = \arccos\frac{1}{2}$

Шаг 1. Рассмотрим $\arctg \sqrt{3}$

Нам нужно найти угол $\theta$, для которого $\tan(\theta) = \sqrt{3}$, и $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$.

Из стандартных значений тангенса известно, что:

$$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}.$$

Следовательно:

$$\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 2. Рассмотрим $\arccos\frac{1}{2}$

Нам нужно найти угол $\theta$, для которого $\cos(\theta) = \frac{1}{2}$, и $0 \leq \theta \leq \pi$.

Из стандартных значений косинуса известно, что:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}.$$

Следовательно:

$$\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3. Сравниваем $\arctg \sqrt{3}$ и $\arccos\frac{1}{2}$

Мы видим, что:

$$\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}, \quad \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Следовательно:

$$\arctg \sqrt{3} = \arccos\frac{1}{2}.$$

3. $\arctg(-3) < \arctg 2$

Шаг 1. Рассмотрим $\arctg(-3)$

Нам нужно найти угол $\theta$, для которого $\tan(\theta) = -3$, и $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$.

Поскольку $-3$ — это отрицательное число, то угол $\theta$ будет отрицательным. В этом интервале $\arctg(-3)$ обязательно будет меньше 0.

Следовательно:

$$\arctg(-3) < 0.$$

Шаг 2. Рассмотрим $\arctg 2$

Нам нужно найти угол $\theta$, для которого $\tan(\theta) = 2$, и $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$.

Поскольку $2$ — это положительное число, то угол $\theta$ будет положительным. Таким образом:

$$\arctg 2 > 0.$$

Шаг 3. Сравниваем $\arctg(-3)$ и $\arctg 2$

Мы знаем, что:

$$\arctg(-3) < 0, \quad \arctg 2 > 0.$$

Следовательно:

$$\arctg(-3) < \arctg 2.$$

4. $\arctg(-5) < \arctg 0$

Шаг 1. Рассмотрим $\arctg(-5)$

Нам нужно найти угол $\theta$, для которого $\tan(\theta) = -5$, и $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$.

Поскольку $-5$ — это отрицательное число, то угол $\theta$ будет отрицательным. В этом интервале $\arctg(-5)$ обязательно будет меньше 0.

Следовательно:

$$\arctg(-5) < 0.$$

Шаг 2. Рассмотрим $\arctg 0$

Нам нужно найти угол $\theta$, для которого $\tan(\theta) = 0$, и $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$.

Известно, что:

$$\tan(0) = 0.$$

Следовательно:

$$\arctg 0 = 0.$$

Шаг 3. Сравниваем $\arctg(-5)$ и $\arctg 0$

Мы знаем, что:

$$\arctg(-5) < 0, \quad \arctg 0 = 0.$$

Следовательно:

$$\arctg(-5) < \arctg 0.$$

Итоговые ответы:

1. $\arctg(-1) > \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$,
2. $\arctg \sqrt{3} = \arccos\frac{1}{2}$,
3. $\arctg(-3) < \arctg 2$,
4. $\arctg(-5) < \arctg 0$.