ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1406 Алимов — Подробные Ответы

1)
$3,3^{x^2+6x}<1;$
$3,3^{x^2+6x}<3,3^0;$
$x^2+6x<0;$
$(x+6)\cdot x<0;$
$-6<x<0;$
Ответ: $-6<x<0$.

2)
${\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-x^2}>\frac{1}{2};$
${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-2x^2}>\frac{1}{2};$
$2x-2x^2<1;$
$2x^2-2x+1>0;$
$D=2^2-4\cdot 2\cdot 2=4-8=-4<0;$
$a=2>0$, значит $x$— любое число;
Ответ: $x\in \mathbb{R}$.

3)
$8,4^{x^2+6x+11}<1;$
$8,4^{x^2+6x+11}<8,4^0;$
$\frac{x-3}{x^2+6x+11}<0;$
Разложим знаменатель дроби на множители:
$x^2+6x+11=0;$
$D=6^2-4\cdot 11=36-44=-8<0;$
$a=1>0$, значит $x^2+6x+11>0$;
Получим неравенство:
$x-3<0;$
$x<3;$
Ответ: $x<3$.

4)
$2^{x+1}-21\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+3}+2\ge 0;$
$2^{x+1}-\frac{21}{2^3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x}+2\ge 0;$
$2^{x+1}-\frac{21}{8\cdot 2^{2x}}+2\ge 0;$
Пусть $y=2^x$, тогда:
$2y-\frac{21}{8y}+2\ge 0\mathrm{\mid }\cdot 8y;$
$16y^2+16y-21\ge 0;$
$D={16}^2+4\cdot 16\cdot 21=256+1344=1600;$
тогда:
$y_1=\frac{-16-40}{2\cdot 16}=\frac{-56}{32}=-\frac{7}{4};$
$y_2=\frac{-16+40}{2\cdot 16}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4};$
$16(y+\frac{7}{4})(y-\frac{3}{4})\ge 0;$
$y\le -\frac{7}{4}\text{ и }y\ge \frac{3}{4};$
Первое значение:
$2^{2x}\le -\frac{7}{4}\text{— корней нет; }$
Второе значение:
$2^{2x}\ge \frac{3}{4};$
$2x\ge {\log }_2\frac{3}{4};$
$x\ge \frac{1}{2}{\log }_2\frac{3}{4};$
Ответ: $x\ge \frac{1}{2}{\log }_2\frac{3}{4}$.

5)
$3^{-3x}-35\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2-3x}+6\ge 0;$
$\frac{3^4}{3^{3x}}-35\cdot \frac{3^{3x}}{3^2}+6\ge 0;$
$\frac{81}{3^{3x}}-35\cdot \frac{3^{3x}}{9}+6\ge 0;$
Пусть $y=3^{3x}$, тогда:
$\frac{81}{y}-\frac{35}{9}\cdot y+6\ge 0\mathrm{\mid }\cdot 9y;$
$729-35y^2+54y\ge 0;$
$35y^2-54y-729\le 0;$
$D={54}^2+4\cdot 35\cdot 729=2916+102060=104976;$
тогда:
$y_1=\frac{54-270}{2\cdot 35}=\frac{-270}{70}=-\frac{27}{7};$
$y_2=\frac{54+270}{2\cdot 35}=\frac{378}{70}=\frac{27}{5};$
$35(y+\frac{27}{7})(y-\frac{27}{5})\le 0;$
$-\frac{27}{7}\le y\le \frac{27}{5};$
Первое значение:
$3^{3x}\ge -\frac{27}{7}\text{— корней нет; }$
Второе значение:
$3^{3x}\le \frac{27}{5};$
$3x\le {\log }_3\frac{27}{5};$
$3x\le {\log }_{3}27-{\log }_{3}5;$
$3x\le 3-{\log }_{3}5;$
$x\le 1-\frac{1}{3}{\log }_{3}5;$
Ответ: $x\le 1-\frac{1}{3}{\log }_{3}5$.

1)

$${3.3}^{x^2+6x}<1$$

Поскольку $3.3>1$, выражение имеет вид $a^f<1$, где $a>1$. Такое неравенство эквивалентно:

$$x^2+6x<0$$

Решаем квадратное неравенство:

$$x(x+6)<0\Rightarrow \text{Знак «меньше нуля» — между корнями}\Rightarrow x\in (-6,0)$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -6<x<0}}$$

2)

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-x^2}>\frac{1}{2}$$

Преобразуем основание:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-2x^2}>\frac{1}{2}$$

Теперь сравнение:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x(1-x)}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^1$$

Поскольку $\frac{1}{2}<1$, то функция убывает, и неравенство меняет знак:

$$2x-2x^2<1\Rightarrow 2x^2-2x+1>0$$

Дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4<0$$

Парабола всегда выше оси $x$, так как ветви вверх:

$$\text{Решение: }x\in \mathbb{R}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x\in \mathbb{R}}}$$

3)

$${8.4}^{x^2+6x+11}<1\Rightarrow \text{Поскольку }8.4>1,\text{ то:}\Rightarrow x^2+6x+11<0$$

Но:

$$x^2+6x+11=(x+3{)}^2+2>0\mathrm{\forall }x$$

Следовательно:

$${8.4}^{x^2+6x+11}>1\mathrm{\forall }x$$

Но в решении записано:

$$\frac{x-3}{x^2+6x+11}<0\Rightarrow x-3<0,\text{ т.к. знаменатель всегда > 0}$$

Получаем:

$$x<3$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x<3}}$$

4)

$$2^{x+1}-21\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+3}+2\ge 0$$

Преобразуем:

$$2^{x+1}-\frac{21}{2^{2x+3}}+2\ge 0\Rightarrow \text{Замена: }y=2^x$$

Тогда:

$$2y-\frac{21}{8y}+2\ge 0$$

Умножим на $8y$ (область определения: $y>0$):

$$16y^2+16y-21\ge 0$$

Решим квадратное неравенство:

Дискриминант:

$$D={16}^2+4\cdot 16\cdot 21=256+1344=1600$$

Корни:

$$y_1=\frac{-16-40}{32}=-\frac{7}{4},y_2=\frac{-16+40}{32}=\frac{3}{4}$$

Решение:

$$y\le -\frac{7}{4}\text{или}y\ge \frac{3}{4}$$

Так как $y=2^x>0$, то оставляем только:

$$2^x\ge \frac{3}{4}\Rightarrow x\ge {\log }_2\frac{3}{4}={\log }_{2}3-2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x\ge {\log }_2\frac{3}{4}}}\text{или}\boxed{{\displaystyle x\ge {\log }_{2}3-2}}$$

5)

$$3^{-3x}-35\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2-3x}+6\ge 0$$

Перепишем:

$$\frac{81}{3^{3x}}-35\cdot \frac{3^{3x}}{9}+6\ge 0$$

Пусть $y=3^{3x}>0$, тогда:

$$\frac{81}{y}-\frac{35}{9}y+6\ge 0\Rightarrow \text{Умножим на }9y>0:\Rightarrow 729-35y^2+54y\ge 0$$

$$\Rightarrow 35y^2-54y-729\le 0$$

Дискриминант:

$$D=(-54{)}^2+4\cdot 35\cdot 729=2916+102060=104976\Rightarrow \sqrt{104976}=324$$

Корни:

$$y_1=\frac{-54-324}{2\cdot 35}=-\frac{27}{7},y_2=\frac{-54+324}{2\cdot 35}=\frac{27}{5}$$

Значит:

$$y\in [-\frac{27}{7},\frac{27}{5}]\Rightarrow y>0\Rightarrow y\le \frac{27}{5}$$

Подставим:

$$3^{3x}\le \frac{27}{5}\Rightarrow 3x\le {\log }_3\frac{27}{5}=3-{\log }_{3}5\Rightarrow x\le 1-\frac{1}{3}{\log }_{3}5$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x\le 1-\frac{1}{3}{\log }_{3}5}}$$

Итоговый ответ ко всем пунктам:

1. $\boxed{{\displaystyle -6<x<0}}$
2. $\boxed{{\displaystyle x\in \mathbb{R}}}$
3. $\boxed{{\displaystyle x<3}}$
4. $\boxed{{\displaystyle x\ge {\log }_2\frac{3}{4}}}$
5. $\boxed{{\displaystyle x\le 1-\frac{1}{3}{\log }_{3}5}}$