ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 66 Алимов — Подробные Ответы

1. (корень a — корень b)/ (a1/4 — 1/4);
2. (m1/2 + n1/2)/ (b+2 (корень mn) + n);
3. (c-2(c1/2) + 1)/ ((корень c) — 1).

1).$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}}-\frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}}=\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}}-\frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}}=\frac{a^{\frac{2}{4}}-b^{\frac{2}{4}}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}}-\frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}}=\frac{{\left(a^{\frac{1}{4}}\right)}^2-{\left(b^{\frac{1}{4}}\right)}^2}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}}-\frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}}=\frac{(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}}-\frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}}=a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}};$$

2).$$\frac{\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}{m+2\sqrt{mn}+n}=\frac{\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}{{\left(m^{\frac{1}{2}}\right)}^2+2m^{\frac{1}{2}}{n}^{\frac{1}{2}}+{\left(n^{\frac{1}{2}}\right)}^2}=\frac{\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}{{(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}})}^2}=\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}={(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}})}^{-1};$$

3).$$\frac{c-2c^{\frac{1}{2}}+1}{\sqrt{c}-1}=\frac{{\left(c^{\frac{1}{2}}\right)}^2-2c^{\frac{1}{2}}+1^2}{c^{\frac{1}{2}}-1}=\frac{{(c^{\frac{1}{2}}-1)}^2}{c^{\frac{1}{2}}-1}=c^{\frac{1}{2}}-1$$

Задача 1

Упростим выражение:

$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}}-\frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}}$$

Шаг 1. Представим числитель в степени:

$$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}},\sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

Тогда числитель запишется как:

$$a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель, приведя к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}}-\frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}=\frac{b^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{4}}}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Запишем дробь, подставив преобразования:

$$\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{\frac{b^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{4}}}}\mathrm{.}$$

Деление дроби заменяем умножением на обратную:

$$(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})\cdot \frac{a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{4}}}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Используем формулу разности квадратов:

$$a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}=(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})\mathrm{.}$$

Тогда выражение принимает вид:

$$\frac{(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{4}}}\cdot a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{4}}\mathrm{.}$$

Так как $b^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{4}}=-(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})$, сокращаем:

$$-(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})\mathrm{.}$$

Ответ:

$$a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\mathrm{.}$$

Задача 2

Упростим выражение:

$$\frac{\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}{m+2\sqrt{mn}+n}\mathrm{.}$$

Шаг 1. Преобразуем числитель:

$$\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}=\frac{n^{\frac{1}{2}}+m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}{n}^{\frac{1}{2}}}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель:

$$m+2\sqrt{mn}+n=(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}{)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 3. Подставляем преобразованные части:

$$\frac{\frac{n^{\frac{1}{2}}+m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}{n}^{\frac{1}{2}}}}{(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Умножаем на обратную дробь:

$$\frac{n^{\frac{1}{2}}+m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}{n}^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{1}{(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}{)}^2}\mathrm{.}$$

Сокращаем $n^{\frac{1}{2}}+m^{\frac{1}{2}}$:

$$\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}{)}^{-1}\mathrm{.}$$

Задача 3

Упростим выражение:

$$\frac{c-2c^{\frac{1}{2}}+1}{\sqrt{c}-1}\mathrm{.}$$

Шаг 1. Разложим числитель:

$$c-2c^{\frac{1}{2}}+1=(c^{\frac{1}{2}}{)}^2-2c^{\frac{1}{2}}+1^2\mathrm{.}$$

Это формула квадрата разности:

$$(c^{\frac{1}{2}}-1{)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$\sqrt{c}-1=c^{\frac{1}{2}}-1.$$

Шаг 3. Записываем дробь:

$$\frac{(c^{\frac{1}{2}}-1{)}^2}{c^{\frac{1}{2}}-1}\mathrm{.}$$

Сокращаем $c^{\frac{1}{2}}-1$:

$$c^{\frac{1}{2}}-1.$$

Ответ:

$$c^{\frac{1}{2}}-1.$$