ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 113 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. (корень 3 степени 7 — корень 3 степени 4)(корень 3 степени 49 + корень 3 степени 28 + корень 3 степени 16);
2. (корень 3 степени 4 — корень 3 степени 10 + корень 3 степени 25)(корень 3 степени 2 + корень 3 степени 5).

1) $(\sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16})$

$$(\sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16}) = \left( 7^{\frac{1}{3}} — 4^{\frac{1}{3}} \right) \left( 49^{\frac{1}{3}} + 28^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{3}} \right)$$

$$= \left( 7^{\frac{1}{3}} — 4^{\frac{1}{3}} \right) \left( (7^2)^{\frac{1}{3}} + (7 \cdot 4)^{\frac{1}{3}} + (4^2)^{\frac{1}{3}} \right)$$

$$= \left( 7^{\frac{1}{3}} — 4^{\frac{1}{3}} \right) \left( 7^{\frac{2}{3}} + 7^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{2}{3}} \right)$$

$$= \left( 7^{\frac{1}{3}} \right)^3 — \left( 4^{\frac{1}{3}} \right)^3 = 7 — 4 = 3$$

Ответ: $3$

2) $(\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$

$$(\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}) = \left( 2^{\frac{1}{3}} — 10^{\frac{1}{3}} + 25^{\frac{1}{3}} \right) \left( 2^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{1}{3}} \right)$$

$$= \left( 2^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{1}{3}} \right) \left( 2^{\frac{1}{3}} — 2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{2}{3}} \right)$$

$$= \left( 2^{\frac{1}{3}} \right)^3 + \left( 5^{\frac{1}{3}} \right)^3 = 2 + 5 = 7$$

Ответ: $7$

1) $(\sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16})$

Итак, давайте внимательно разберем каждую часть выражения:

1.1) Начнем с преобразования выражений в удобную для работы форму:

$$(\sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16}) = (7^{\frac{1}{3}} — 4^{\frac{1}{3}}) \cdot (49^{\frac{1}{3}} + 28^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{3}})$$

1.2) Заметим, что $49 = 7^2$, $28 = 7 \cdot 4$ и $16 = 4^2$. Это позволяет нам записать выражение как:

$$= (7^{\frac{1}{3}} — 4^{\frac{1}{3}}) \cdot \left( (7^2)^{\frac{1}{3}} + (7 \cdot 4)^{\frac{1}{3}} + (4^2)^{\frac{1}{3}} \right)$$

1.3) Упростим каждую часть в скобках:

$$(7^2)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}, \quad (7 \cdot 4)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{3}}, \quad (4^2)^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{2}{3}}$$

Таким образом, получаем:

$$= (7^{\frac{1}{3}} — 4^{\frac{1}{3}}) \cdot \left( 7^{\frac{2}{3}} + 7^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{2}{3}} \right)$$

1.4) Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Вспоминаем, что разность кубов $a^3 — b^3$ можно разложить как:

$$a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$$

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 7^{\frac{1}{3}}$ и $b = 4^{\frac{1}{3}}$:

$$(7^{\frac{1}{3}})^3 — (4^{\frac{1}{3}})^3 = 7 — 4 = 3$$

Ответ: $3$

2) $(\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$

Давайте разобьем это выражение по шагам:

2.1) Начнем с преобразования каждого из кубических корней:

$$(\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}) = (2^{\frac{1}{3}} — 10^{\frac{1}{3}} + 25^{\frac{1}{3}}) \cdot (2^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{1}{3}})$$

2.2) Теперь, как и в предыдущем примере, воспользуемся тем, что $25 = 5^2$, и запишем выражение как:

$$= (2^{\frac{1}{3}} — 10^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{2}{3}}) \cdot (2^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{1}{3}})$$

2.3) Используем свойства кубических корней и упростим выражение. В первую очередь, заметим, что:

$$\left( 2^{\frac{1}{3}} \right)^3 + \left( 5^{\frac{1}{3}} \right)^3 = 2 + 5 = 7$$

Ответ: $7$

Ответы:

1. $3$
2. $7$