ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 385 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить числа:

1. log1/2(1/3) и log1/3(1/2);
2. 2^(2log2(5) + log1/9(9)) и корень 8.

Сравнить числа:

1)$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2};$$

Преобразуем первое число:

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = \log_{2^{-1}} \frac{1}{3} = -\log_2 \frac{1}{3} = \log_2 \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = \log_2 3;$$

Преобразуем второе число:

$$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \log_{3^{-1}} \frac{1}{2} = -\log_3 \frac{1}{2} = \log_3 \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = \log_3 2;$$

Сравним данные числа:

$$2<3,\text{ значит }{\log }_{2}3>1\text{ и }{\log }_{3}2<1;$$

$$2 < 3, \text{ значит } \log_2 3 > 1 \text{ и } \log_3 2 < 1;$$ $${\log }_{2}3>{\log }_{3}2;$$

$$\log_2 3 > \log_3 2;$$ $$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2};$$

2)$$2^{2 \log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} \quad \text{и} \quad \sqrt{8};$$

Преобразуем первое число:

$$2^{2{\log }_{2}5+{\log }_{\frac{1}{9}}9}=2^{{\log }_2{5}^2+{\log }_{\frac{1}{9}}9}=2^{{\log }_{2}25+{\log }_{9^{-1}}9}=2^{{\log }_{2}25+(-{\log }_{9}9)}=2^{{\log }_{2}25-1};$$

$$2^{2 \log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} = 2^{\log_2 5^2 + \log_{\frac{1}{9}} 9} = 2^{\log_2 25 + \log_{9^{-1}} 9} = 2^{\log_2 25 + (-\log_9 9)} = 2^{\log_2 25 — 1};$$ $$=2^{{\log }_{2}25}\cdot 2^{-1}=25\cdot \frac{1}{2}=\frac{25}{2};$$$$= 2^{\log_2 25} \cdot 2^{-1} = 25 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{2};$$

Сравним данные числа:

$$8<9⟹\sqrt{8}<3⟹\sqrt{8}<\frac{25}{2};$$

$$8 < 9 \implies \sqrt{8} < 3 \implies \sqrt{8} < \frac{25}{2};$$ $$2^{2 \log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} > \sqrt{8};$$

1)

Сравнить:

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Преобразуем первый логарифм

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$$

Преобразуем основание:

$$\frac{1}{2} = 2^{-1} \Rightarrow \log_{2^{-1}} \frac{1}{3}$$

Используем формулу:

$$\log_{a^{-1}} b = -\log_a b$$ $$\Rightarrow -\log_2 \frac{1}{3}$$

Теперь избавимся от отрицательной дроби в аргументе:

$$\log_2 \left( \frac{1}{3} \right) = -\log_2 3 \Rightarrow -(-\log_2 3) = \log_2 3$$

Шаг 2. Преобразуем второй логарифм

$$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} \Rightarrow \log_{3^{-1}} \frac{1}{2} = -\log_3 \frac{1}{2} = \log_3 \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = \log_3 2$$

Шаг 3. Сравним логарифмы

Теперь нужно сравнить:

$$\log_2 3 \quad \text{и} \quad \log_3 2$$

Это логарифмы с разными основаниями и аргументами. Численно (для ориентира):

• $\log_2 3 \approx 1{,}584$
• $\log_3 2 \approx 0{,}631$

Шаг 4. Доказательство сравнения

Используем логарифмы по общему основанию:

$$\log_2 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2},\quad \log_3 2 = \frac{\ln 2}{\ln 3}$$

Из свойств чисел:

• $\ln 3 > \ln 2$
• $\frac{\ln 3}{\ln 2} > 1$
• $\frac{\ln 2}{\ln 3} < 1$

Следовательно:

$$\log_2 3 > 1 > \log_3 2 \Rightarrow \log_2 3 > \log_3 2$$

Вывод:

$$\boxed{\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}}$$

2)

Сравнить:

$$2^{2 \log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} \quad \text{и} \quad \sqrt{8}$$

Шаг 1. Упростим выражение слева

Дано:

$$2^{2 \log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9}$$

Упростим первую часть:

$$2 \log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25$$

Упростим вторую часть:

$$\log_{\frac{1}{9}} 9 = \log_{9^{-1}} 9 = -\log_9 9 = -1$$

Сложим:

$$2^{\log_2 25 — 1} = 2^{\log_2 25} \cdot 2^{-1} = 25 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{2}$$

Шаг 2. Упростим правую часть

$$\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2^{3/2}$$

Шаг 3. Сравнение

Численно:

• $\frac{25}{2} = 12{,}5$
• $2^{3/2} = \sqrt{8} \approx 2.828$

Явно:

$$\frac{25}{2} > \sqrt{8}$$

Вывод:

$$\boxed{2^{2 \log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} > \sqrt{8}}$$