ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1357 Алимов — Подробные Ответы

1. log4(2+ корень (x+3))=1;
2. log1/3/ ((корень (x2-2x))=-1/2;
3. 1/2log3(x+1)=log3 (корень (x+4) — 2log 3( корень 2).

1) $\log_{4}(2 + \sqrt{x+3}) = 1$;
$\log_{4}(2 + \sqrt{x+3}) = \log_{4} 4$;
$2 + \sqrt{x+3} = 4$;
$\sqrt{x+3} = 2$;
$x + 3 = 4$, отсюда $x = 1$;
Ответ: $x = 1$.

2) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{x^2 — 2x} = -\frac{1}{2}$;
$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{x^2 — 2x} = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-\frac{1}{2}}$;
$\sqrt{x^2 — 2x} = \sqrt{3}$;
$x^2 — 2x — 3 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$;
Ответ: $x_1 = -1$; $x_2 = 3$.

3) $\frac{1}{2} \log_{3}(x+1) = \log_{3} \sqrt{x+4} — 2 \log_{3} \sqrt{2}$;
$\log_{3}(x+1)^{\frac{1}{2}} = \log_{3} \sqrt{x+4} — \log_{3} (\sqrt{2})^2$;
$\log_{3} \sqrt{x+1} = \log_{3} \left( \frac{1}{2} \sqrt{x+4} \right)$;
$\sqrt{x+1} = \frac{1}{2} \sqrt{x+4}$;
$2 \sqrt{x+1} = \sqrt{x+4}$;
$4(x+1) = x+4$;
$4x + 4 = x + 4$;
$3x = 0$, отсюда $x = 0$;
Ответ: $x = 0$.

Пример 1:

$$\log_{4}(2 + \sqrt{x+3}) = 1$$

Шаг 1: Преобразование логарифма в показательное уравнение

Мы знаем, что логарифм $\log_b a = c$ можно переписать как $a = b^c$. Применим это свойство к нашему уравнению:

$$\log_{4}(2 + \sqrt{x+3}) = 1 \quad \Rightarrow \quad 2 + \sqrt{x+3} = 4^1 = 4.$$

Шаг 2: Решение для $x$

Теперь решим полученное уравнение:

$$2 + \sqrt{x+3} = 4.$$

Вычитаем 2 из обеих сторон:

$$\sqrt{x+3} = 4 — 2 = 2.$$

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$x + 3 = 2^2 = 4.$$

Вычитаем 3 из обеих сторон:

$$x = 4 — 3 = 1.$$

Ответ:

Таким образом, решение уравнения:

$$x = 1.$$

Пример 2:

$$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{x^2 — 2x} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 1: Преобразование логарифма в показательное уравнение

Применяем свойство логарифмов, переводя его в показательное уравнение:

$$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{x^2 — 2x} = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x^2 — 2x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}.$$

Мы знаем, что $\left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$, так как $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1/2} = \sqrt{3}$. Следовательно, уравнение принимает вид:

$$\sqrt{x^2 — 2x} = \sqrt{3}.$$

Шаг 2: Возведение обеих сторон в квадрат

Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$x^2 — 2x = 3.$$

Теперь переносим все в одну сторону:

$$x^2 — 2x — 3 = 0.$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Решаем квадратное уравнение $x^2 — 2x — 3 = 0$ с помощью дискриминанта. Для этого используем формулу для дискриминанта $D = b^2 — 4ac$, где $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3.$$

Шаг 4: Проверка на допустимые значения

Проверим, какие из найденных решений подходят для исходного логарифмического уравнения. Поскольку внутри логарифма должно быть положительное число, нам нужно, чтобы $x^2 — 2x > 0$.

Для $x = -1$:

$$x^2 — 2x = (-1)^2 — 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3 > 0.$$

Значение положительное, значит, решение $x = -1$ допустимо.

Для $x = 3$:

$$x^2 — 2x = 3^2 — 2 \cdot 3 = 9 — 6 = 3 > 0.$$

Значение тоже положительное, значит, решение $x = 3$ также допустимо.

Ответ:

Таким образом, решения для $x$:

$$x_1 = -1; \quad x_2 = 3.$$

Пример 3:

$$\frac{1}{2} \log_{3}(x+1) = \log_{3} \sqrt{x+4} — 2 \log_{3} \sqrt{2}$$

Шаг 1: Преобразование логарифмов

Начнем с того, что используем свойства логарифмов для упрощения выражений. Во-первых, преобразуем $\frac{1}{2} \log_{3}(x+1)$ в $\log_3 (x+1)^{\frac{1}{2}}$:

$$\frac{1}{2} \log_{3}(x+1) = \log_3 (x+1)^{\frac{1}{2}}.$$

Во-вторых, применим свойство логарифмов для второго слагаемого:

$$\log_3 \sqrt{x+4} — 2 \log_3 \sqrt{2} = \log_3 \sqrt{x+4} — \log_3 2^2 = \log_3 \sqrt{x+4} — \log_3 4.$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$\log_3 (x+1)^{\frac{1}{2}} = \log_3 \left( \frac{1}{2} \sqrt{x+4} \right).$$

Шаг 2: Равенство логарифмов

Так как основания логарифмов одинаковые, можем приравнять выражения под логарифмами:

$$(x+1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{x+4}.$$

Шаг 3: Убираем квадратные корни

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$x + 1 = \frac{1}{4} (x + 4).$$

Теперь умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

$$4(x + 1) = x + 4.$$

Раскрываем скобки:

$$4x + 4 = x + 4.$$

Переносим все в одну сторону:

$$4x + 4 — x — 4 = 0,$$ $$3x = 0.$$

Решаем:

$$x = 0.$$

Ответ:

Таким образом, решение уравнения:

$$x = 0.$$

Ответ:

1. $x = 1$
2. $x_1 = -1; \, x_2 = 3$
3. $x = 0$