ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1405 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^2x — 4^(x-1) + 8^2x/3 * 2^-4 > 52;
2. 2(x+2) — 2(x+3) + 5(x-2) > 5(x+1)+2(x+4).

1)

$$2^{2x} — 4^{x-1} + 8^{\frac{2}{3}x} \cdot 2^{-4} > 52;$$ $$2^{2x} — (2^2)^{x-1} + (2^3)^{\frac{2}{3}x} \cdot 2^{-4} > 52;$$ $$2^{2x} — 2^{2x-2} + 2^{2x-4} > 52;$$ $$2^{2x} \cdot (2^0 — 2^{-2} + 2^{-4}) > 52;$$ $$2^{2x} \cdot \left(1 — \frac{1}{4} + \frac{1}{16}\right) > 52;$$ $$2^{2x} \cdot \frac{16 — 4 + 1}{16} > 52;$$ $$2^{2x} \cdot \frac{13}{16} > 52;$$ $$2^{2x} > 64;$$ $$2^{2x} > 2^6;$$ $$2x > 6;$$ $$x > 3;$$

Ответ: $x > 3$.

2)

$$2^{x+2} — 2^{x+3} + 5^{x-2} > 5^{x+1} + 2^{x+4};$$ $$2^{x+2} — 2^{x+3} — 2^{x+4} > 5^{x+1} — 5^{x-2};$$ $$2^x \cdot (2^2 — 2^3 — 2^4) > 5^x \cdot (5^1 — 5^{-2});$$ $$2^x \cdot (4 — 8 — 16) > 5^x \cdot \left(5 — \frac{1}{25}\right);$$ $$2^x \cdot (-20) > 5^x \cdot \frac{124}{25};$$ $$2^x < \frac{-31}{125} \cdot \frac{5^x}{2^x};$$

Корней нет

Ответ: решений нет.

1)

$$2^{2x} — 4^{x-1} + 8^{\frac{2}{3}x} \cdot 2^{-4} > 52$$

Шаг 1. Представим все степени через основание 2

• $4 = 2^2$, значит:

  $$4^{x-1} = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x — 1)} = 2^{2x — 2}$$

• $8 = 2^3$, значит:

  $$8^{\frac{2}{3}x} = (2^3)^{\frac{2}{3}x} = 2^{2x}$$

Теперь перепишем всё:

$$2^{2x} — 2^{2x — 2} + 2^{2x} \cdot 2^{-4} > 52$$

Шаг 2. Объединим множители с одинаковой основой

• $2^{2x} \cdot 2^{-4} = 2^{2x — 4}$

Теперь у нас:

$$2^{2x} — 2^{2x — 2} + 2^{2x — 4} > 52$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель $2^{2x}$

Чтобы это сделать, выразим каждое слагаемое как кратное $2^{2x}$:

• $2^{2x} = 2^{2x} \cdot 1$
• $2^{2x — 2} = 2^{2x} \cdot 2^{-2}$
• $2^{2x — 4} = 2^{2x} \cdot 2^{-4}$

Подставим:

$$2^{2x} \cdot \left(1 — 2^{-2} + 2^{-4}\right) > 52$$

Шаг 4. Посчитаем выражение в скобках

• $2^{-2} = \frac{1}{4}$
• $2^{-4} = \frac{1}{16}$

В скобках:

$$1 — \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{16 — 4 + 1}{16} = \frac{13}{16}$$

Теперь:

$$2^{2x} \cdot \frac{13}{16} > 52$$

Шаг 5. Избавимся от дроби

Умножим обе части на 16:

$$2^{2x} \cdot 13 > 832$$

Теперь разделим обе части на 13:

$$2^{2x} > \frac{832}{13} = 64$$

Шаг 6. Переведём правую часть в степень двойки

$$64 = 2^6$$

Получаем:

$$2^{2x} > 2^6$$

Шаг 7. Сравниваем показатели при одинаковых основаниях

$$2x > 6 \Rightarrow x > 3$$

Ответ к 1):

$$\boxed{x > 3}$$

2)

$$2^{x+2} — 2^{x+3} + 5^{x-2} > 5^{x+1} + 2^{x+4}$$

Шаг 1. Перенесём все члены в одну часть

$$2^{x+2} — 2^{x+3} — 2^{x+4} + 5^{x-2} — 5^{x+1} > 0$$

Шаг 2. Вынесем $2^x$ и $5^x$

По степеням двойки:

• $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 2^x \cdot 4$
• $2^{x+3} = 2^x \cdot 8$
• $2^{x+4} = 2^x \cdot 16$

По степеням пятёрки:

• $5^{x+1} = 5^x \cdot 5$
• $5^{x-2} = 5^x \cdot 5^{-2} = 5^x \cdot \frac{1}{25}$

Теперь выражение:

$$2^x (4 — 8 — 16) + 5^x \left(\frac{1}{25} — 5\right) > 0$$

Шаг 3. Посчитаем числовые выражения

• $4 — 8 — 16 = -20$
• $\frac{1}{25} — 5 = \frac{1 — 125}{25} = \frac{-124}{25}$

Подставим:

$$2^x \cdot (-20) + 5^x \cdot \left(\frac{-124}{25}\right) > 0$$

Шаг 4. Вынесем минус за скобки

$$— \left(2^x \cdot 20 + 5^x \cdot \frac{124}{25}\right) > 0$$

Теперь видно, что левая часть отрицательна при любых $x$, потому что:

• $2^x > 0$ при любом $x$
• $5^x > 0$ при любом $x$
• Всё выражение под скобками положительно → с минусом — отрицательно

Вывод: неравенство отрицательное при любом $x$, а значит решений нет.

Ответ к 2):

$$\boxed{\text{решений нет}}$$