ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 543 Алимов — Подробные Ответы

Записать в виде произведения:

1. cos 22° + cos 24° + cos 26° + cos 28°;
2. cos пи/12 + cos пи/4 + cos 5пи/6.

1.

$$\cos 22^\circ + \cos 24^\circ + \cos 26^\circ + \cos 28^\circ =$$ $$= 2 \cdot \cos \frac{22^\circ + 24^\circ}{2} \cdot \cos \frac{22^\circ — 24^\circ}{2} + 2 \cdot \cos \frac{26^\circ + 28^\circ}{2} \cdot \cos \frac{26^\circ — 28^\circ}{2} =$$ $$= 2 \cdot \cos \frac{46^\circ}{2} \cdot \cos \left( -\frac{2^\circ}{2} \right) + 2 \cdot \cos \frac{54^\circ}{2} \cdot \cos \left( -\frac{2^\circ}{2} \right) =$$ $$= 2 \cdot \cos 23^\circ \cdot \cos 1^\circ + 2 \cdot \cos 27^\circ \cdot \cos 1^\circ = 2 \cos 1^\circ \cdot (\cos 23^\circ + \cos 27^\circ) =$$ $$= 2 \cos 1^\circ \cdot 2 \cdot \cos \frac{23^\circ + 27^\circ}{2} \cdot \cos \frac{23^\circ — 27^\circ}{2} = 4 \cos 1^\circ \cdot \cos \frac{50^\circ}{2} \cdot \cos \left( -\frac{4^\circ}{2} \right) =$$ $$= 4 \cos 1^\circ \cdot \cos 25^\circ \cdot \cos 2^\circ;$$

2.

$$\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{6} = 2 \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{4}}{2} + \cos \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) =$$ $$= 2 \cdot \cos \frac{\frac{4\pi}{24}}{2} \cdot \cos \left( -\frac{2\pi}{24} \right) — \cos \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{12} — \cos \frac{\pi}{6} =$$ $$= 2 \cos \frac{\pi}{6} \left( \cos \frac{\pi}{12} — \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \cos \frac{\pi}{12} — \cos \frac{\pi}{3} \right) =$$ $$= \sqrt{3} \cdot (-2) \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3}}{2} \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{3}}{2} = -2\sqrt{3} \cdot \sin \frac{5\pi}{24} \cdot \sin \left( -\frac{3\pi}{24} \right) =$$ $$= 2\sqrt{3} \cdot \sin \frac{5\pi}{24} \cdot \sin \frac{\pi}{8};$$

1)

Дано:

$$\cos 22^\circ + \cos 24^\circ + \cos 26^\circ + \cos 28^\circ$$

Шаг 1. Разобьём сумму на две части для удобства:

$$(\cos 22^\circ + \cos 24^\circ) + (\cos 26^\circ + \cos 28^\circ)$$

Шаг 2. Для каждой пары применим формулу суммы косинусов:

$$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x — y}{2}$$

Шаг 3. Рассчитаем для первой пары:

$$x = 22^\circ, \quad y = 24^\circ$$ $$\cos 22^\circ + \cos 24^\circ = 2 \cos \frac{22^\circ + 24^\circ}{2} \cdot \cos \frac{22^\circ — 24^\circ}{2} = 2 \cos 23^\circ \cdot \cos (-1^\circ)$$

Шаг 4. Поскольку $\cos(-\theta) = \cos \theta$, то:

$$\cos (-1^\circ) = \cos 1^\circ$$

Значит:

$$\cos 22^\circ + \cos 24^\circ = 2 \cos 23^\circ \cdot \cos 1^\circ$$

Шаг 5. Аналогично для второй пары:

$$x = 26^\circ, \quad y = 28^\circ$$ $$\cos 26^\circ + \cos 28^\circ = 2 \cos \frac{26^\circ + 28^\circ}{2} \cdot \cos \frac{26^\circ — 28^\circ}{2} = 2 \cos 27^\circ \cdot \cos (-1^\circ) = 2 \cos 27^\circ \cdot \cos 1^\circ$$

Шаг 6. Подставим обратно:

$$\cos 22^\circ + \cos 24^\circ + \cos 26^\circ + \cos 28^\circ = 2 \cos 23^\circ \cos 1^\circ + 2 \cos 27^\circ \cos 1^\circ$$

Вынесем общий множитель $2 \cos 1^\circ$:

$$= 2 \cos 1^\circ (\cos 23^\circ + \cos 27^\circ)$$

Шаг 7. Опять применим формулу суммы косинусов для скобки:

$$\cos 23^\circ + \cos 27^\circ = 2 \cos \frac{23^\circ + 27^\circ}{2} \cdot \cos \frac{23^\circ — 27^\circ}{2} = 2 \cos 25^\circ \cdot \cos (-2^\circ) = 2 \cos 25^\circ \cdot \cos 2^\circ$$

Шаг 8. Подставим обратно:

$$2 \cos 1^\circ \cdot 2 \cos 25^\circ \cdot \cos 2^\circ = 4 \cos 1^\circ \cos 25^\circ \cos 2^\circ$$

Итог:

$$\boxed{\cos 22^\circ + \cos 24^\circ + \cos 26^\circ + \cos 28^\circ = 4 \cos 1^\circ \cos 25^\circ \cos 2^\circ}$$

2)

Дано:

$$\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{6}$$

Шаг 1. Сгруппируем первые два слагаемых:

$$\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{6} = \left(\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4}\right) + \cos \frac{5\pi}{6}$$

Шаг 2. Применим формулу суммы косинусов к первым двум:

$$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x — y}{2}$$

где

$$x = \frac{\pi}{12}, \quad y = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3. Рассчитаем полусумму и полуразность:

$$\frac{x + y}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{6}$$ $$\frac{x — y}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} — \frac{3\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{12}}{2} = -\frac{\pi}{12}$$

Шаг 4. Тогда:

$$\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \left(-\frac{\pi}{12}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{12}$$

Шаг 5. Подставим это в исходное выражение:

$$2 \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{6}$$

Шаг 6. Используем формулу для косинуса дополнения:

$$\cos \left(\pi — \theta \right) = -\cos \theta$$

Значит:

$$\cos \frac{5\pi}{6} = \cos \left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) = -\cos \frac{\pi}{6}$$

Шаг 7. Тогда выражение примет вид:

$$2 \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{12} — \cos \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{6} (2 \cos \frac{\pi}{12} — 1)$$

Шаг 8. Используем, что $1 = 2 \cdot \frac{1}{2}$, а $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, чтобы переписать:

$$2 \cos \frac{\pi}{12} — 1 = 2 \cos \frac{\pi}{12} — 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 \left(\cos \frac{\pi}{12} — \cos \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 9. Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A — B}{2}$$

Пусть

$$A = \frac{\pi}{12}, \quad B = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 10. Найдём полусумму и полуразность:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{5\pi}{12} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5\pi}{24}$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} — \frac{4\pi}{12}}{2} = -\frac{3\pi}{12} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3\pi}{24} = -\frac{\pi}{8}$$

Шаг 11. Подставим в формулу:

$$\cos \frac{\pi}{12} — \cos \frac{\pi}{3} = -2 \sin \frac{5\pi}{24} \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{8}\right)$$

Шаг 12. Синус отрицательного аргумента:

$$\sin (-x) = -\sin x$$

Значит:

$$\sin \left(-\frac{\pi}{8}\right) = -\sin \frac{\pi}{8}$$

Шаг 13. Подставим в выражение:

$$-2 \sin \frac{5\pi}{24} \cdot \left(-\sin \frac{\pi}{8}\right) = 2 \sin \frac{5\pi}{24} \cdot \sin \frac{\pi}{8}$$

Шаг 14. Итоговое выражение:

$$\cos \frac{\pi}{6} \cdot 2 \left(\cos \frac{\pi}{12} — \cos \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cdot 2 \sin \frac{5\pi}{24} \cdot \sin \frac{\pi}{8} \cdot 2$$

С учётом шага 13:

$$= 2 \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin \frac{5\pi}{24} \cdot \sin \frac{\pi}{8}$$

Шаг 15. Подставим значение $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin \frac{5\pi}{24} \cdot \sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{3} \cdot \sin \frac{5\pi}{24} \cdot \sin \frac{\pi}{8}$$

Ответ:

$$\boxed{ \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{6} = \sqrt{3} \cdot \sin \frac{5\pi}{24} \cdot \sin \frac{\pi}{8} }$$