ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1221 Алимов — Подробные Ответы

Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение значений случайной величины Z, заданных распределением по частотам М:

1)

Z -2 -1 1 3

м 2 1 3 1

2)

Z -4 -1 2 3

м 1 2 3 1

1) Найдём дисперсию и среднее квадратичное отклонение значения случайной величины $Z$, заданных распределением по частотам М.

Решение

$$\bar{X} = \frac{-2 \cdot 2 — 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{2 + 1 + 3 + 1} = \frac{1}{7} \approx 0,14$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D = \frac{(-2 — 0,14)^2 \cdot 2 + (-1 — 0,14)^2 \cdot 1 + (1 — 0,14)^2 \cdot 3 + (3 — 0,14)^2 \cdot 1}{7}$$ $$= \frac{20,8572}{7} = 2,9796$$ $$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2,9796} \approx 1,73$$

Ответ: $D = 2,9796$; $\sigma \approx 1,73$

2) Найдём дисперсию и среднее квадратичное отклонение значения случайной величины $Z$, заданных распределением по частотам М.

Решение

$$\bar{X} = \frac{-4 \cdot 1 — 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{1 + 2 + 3 + 1} = \frac{3}{7} \approx 0,43$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D = \frac{(-4 — 0,43)^2 \cdot 1 + (-1 — 0,43)^2 \cdot 2 + (2 — 0,43)^2 \cdot 3 + (3 — 0,43)^2 \cdot 1}{7}$$ $$= \frac{1848}{343} \approx 5,39$$ $$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{5,39} \approx 2,32$$

Ответ: $D = 5,39$; $\sigma \approx 2,32$

Задача 1

Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины $Z$, заданной распределением по частотам.

Дано распределение случайной величины $Z$:

$$Z = \{(-2, 2), (-1, 1), (1, 3), (3, 1)\}$$

Здесь каждая пара $(x_i, f_i)$ означает, что значение $x_i$ встречается $f_i$-раз. Нам нужно найти среднее значение ($\bar{X}$), дисперсию ($D$) и стандартное отклонение ($\sigma$) для этого распределения.

1.1. Нахождение среднего значения $\bar{X}$

Среднее значение (математическое ожидание) для дискретного распределения можно найти по формуле:

$$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

Подставим данные:

$$\bar{X} = \frac{(-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{2 + 1 + 3 + 1}$$

В числителе считаем поочередно:

$$(-2) \cdot 2 = -4, \quad (-1) \cdot 1 = -1, \quad 1 \cdot 3 = 3, \quad 3 \cdot 1 = 3$$

Теперь складываем эти значения:

$$-4 + (-1) + 3 + 3 = 1$$

В знаменателе сумма всех частот:

$$2 + 1 + 3 + 1 = 7$$

Теперь находим среднее значение:

$$\bar{X} = \frac{1}{7} \approx 0,14$$

1.2. Нахождение дисперсии $D$

Дисперсия для дискретного распределения вычисляется по формуле:

$$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i — \bar{X})^2 \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

Подставим наши значения:

$$D = \frac{((-2) — 0,14)^2 \cdot 2 + ((-1) — 0,14)^2 \cdot 1 + (1 — 0,14)^2 \cdot 3 + (3 — 0,14)^2 \cdot 1}{7}$$

Теперь, шаг за шагом, вычислим каждый элемент в числителе.

Для $x_1 = -2$:

$$(-2 — 0,14)^2 = (-2,14)^2 = 4,5796$$ $$4,5796 \cdot 2 = 9,1592$$

Для $x_2 = -1$:

$$(-1 — 0,14)^2 = (-1,14)^2 = 1,2996$$ $$1,2996 \cdot 1 = 1,2996$$

Для $x_3 = 1$:

$$(1 — 0,14)^2 = (0,86)^2 = 0,7396$$ $$0,7396 \cdot 3 = 2,2188$$

Для $x_4 = 3$:

$$(3 — 0,14)^2 = (2,86)^2 = 8,1796$$ $$8,1796 \cdot 1 = 8,1796$$

Теперь складываем все эти результаты:

$$9,1592 + 1,2996 + 2,2188 + 8,1796 = 20,8572$$

Теперь находим дисперсию:

$$D = \frac{20,8572}{7} = 2,9796$$

1.3. Нахождение стандартного отклонения $\sigma$

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2,9796} \approx 1,73$$

Ответ для Задачи 1:

Дисперсия: $D = 2,9796$

Стандартное отклонение: $\sigma \approx 1,73$

Задача 2

Теперь аналогично решим задачу для другого распределения случайной величины $Z$, заданной частотами.

Дано распределение:

$$Z = \{(-4, 1), (-1, 2), (2, 3), (3, 1)\}$$

2.1. Нахождение среднего значения $\bar{X}$

Используем ту же формулу для среднего:

$$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

Подставим данные:

$$\bar{X} = \frac{(-4) \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{1 + 2 + 3 + 1}$$

В числителе считаем поочередно:

$$(-4) \cdot 1 = -4, \quad (-1) \cdot 2 = -2, \quad 2 \cdot 3 = 6, \quad 3 \cdot 1 = 3$$

Теперь складываем эти значения:

$$-4 + (-2) + 6 + 3 = 3$$

В знаменателе сумма всех частот:

$$1 + 2 + 3 + 1 = 7$$

Теперь находим среднее значение:

$$\bar{X} = \frac{3}{7} \approx 0,43$$

2.2. Нахождение дисперсии $D$

Дисперсия для дискретного распределения:

$$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i — \bar{X})^2 \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

Подставим наши значения:

$$D = \frac{((-4) — 0,43)^2 \cdot 1 + ((-1) — 0,43)^2 \cdot 2 + (2 — 0,43)^2 \cdot 3 + (3 — 0,43)^2 \cdot 1}{7}$$

Теперь, шаг за шагом, вычислим каждый элемент в числителе.

Для $x_1 = -4$:

$$(-4 — 0,43)^2 = (-4,43)^2 = 19,5929$$ $$19,5929 \cdot 1 = 19,5929$$

Для $x_2 = -1$:

$$(-1 — 0,43)^2 = (-1,43)^2 = 2,0449$$ $$2,0449 \cdot 2 = 4,0898$$

Для $x_3 = 2$:

$$(2 — 0,43)^2 = (1,57)^2 = 2,4649$$ $$2,4649 \cdot 3 = 7,3947$$

Для $x_4 = 3$:

$$(3 — 0,43)^2 = (2,57)^2 = 6,6049$$ $$6,6049 \cdot 1 = 6,6049$$

Теперь складываем все эти результаты:

$$19,5929 + 4,0898 + 7,3947 + 6,6049 = 37,6823$$

Теперь находим дисперсию:

$$D = \frac{37,6823}{7} \approx 5,39$$

2.3. Нахождение стандартного отклонения $\sigma$

Стандартное отклонение:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{5,39} \approx 2,32$$

Ответ для Задачи 2:

Дисперсия: $D \approx 5,39$

Стандартное отклонение: $\sigma \approx 2,32$