ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 383 Алимов — Подробные Ответы

1. lg (x2 + 2x + 2) < 1;
2. log3 (x2 + 7x — 5) > 1.

1)$$\lg (x^2+2x+2)<1;$$

$$\lg(x^2 + 2x + 2) < 1;$$ $$\lg (x^2+2x+2)<\lg 10;$$

$$\lg(x^2 + 2x + 2) < \lg 10;$$ $$x^2+2x+2<10;$$

$$x^2 + 2x + 2 < 10;$$ $$x^2+2x-8<0;$$

$$x^2 + 2x — 8 < 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 8=4+32=36,\text{ тогда:}$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \text{ тогда:}$$ $$x_1=\frac{-2-6}{2}=-4\text{и}{x}_2=\frac{-2+6}{2}=2;$$

$$x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;$$ $$(x+4)(x-2)<0;$$

$$(x + 4)(x — 2) < 0;$$ $$-4 < x < 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2+2x+2>0;$$

$$x^2 + 2x + 2 > 0;$$ $$D=2^2-4\cdot 2=4-8=-4<0;$$

$$D = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4 < 0;$$ $$a = 1 > 0, \text{ значит } x\text{ — любое число};$$

Ответ: $-4 < x < 2$

2)$${\log }_3(x^2+7x-5)>1;$$

$$\log_3(x^2 + 7x — 5) > 1;$$ $${\log }_3(x^2+7x-5)>{\log }_{3}3;$$

$$\log_3(x^2 + 7x — 5) > \log_3 3;$$ $$x^2+7x-5>3;$$

$$x^2 + 7x — 5 > 3;$$ $$x^2+7x-8>0;$$

$$x^2 + 7x — 8 > 0;$$ $$D=7^2+4\cdot 8=49+32=81,\text{ тогда:}$$

$$D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81, \text{ тогда:}$$ $$x_1=\frac{-7-9}{2}=-8\text{и}{x}_2=\frac{-7+9}{2}=1;$$

$$x_1 = \frac{-7 — 9}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{2} = 1;$$ $$(x+8)(x-1)>0;$$

$$(x + 8)(x — 1) > 0;$$ $$x < -8 \quad \text{и} \quad x > 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2+7x-5>0;$$

$$x^2 + 7x — 5 > 0;$$ $$D=7^2+4\cdot 5=49+20=69,\text{ тогда:}$$

$$D = 7^2 + 4 \cdot 5 = 49 + 20 = 69, \text{ тогда:}$$ $$x_1=\frac{-7-\sqrt{69}}{2}\approx \frac{-7-\mathrm{8,3}}{2}\approx -\mathrm{7,6};$$

$$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{69}}{2} \approx \frac{-7 — 8{,}3}{2} \approx -7{,}6;$$ $$x_2=\frac{-7+\sqrt{69}}{2}\approx \frac{-7+\mathrm{8,3}}{2}\approx \mathrm{0,6};$$

$$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{69}}{2} \approx \frac{-7 + 8{,}3}{2} \approx 0{,}6;$$ $$(x+\mathrm{7,6})(x-\mathrm{0,6})>0;$$

$$(x + 7{,}6)(x — 0{,}6) > 0;$$ $$x < -7{,}6 \quad \text{и} \quad x > 0{,}6;$$

Ответ: $x < -8$; $x > 1$

1)

$$\lg(x^2 + 2x + 2) < 1$$

Шаг 1. Область определения логарифма

Логарифм определён только для положительных аргументов:

$$x^2 + 2x + 2 > 0$$

Это квадратное выражение:

• $D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4$
• Дискриминант отрицательный → корней нет
• Ветви параболы направлены вверх (т.к. $a = 1 > 0$)

Значит, выражение всегда больше нуля:

Условие выполняется при любом $x \in \mathbb{R}$

Шаг 2. Решим неравенство

Левую часть оставляем, правую запишем как логарифм:

$$1 = \lg 10$$ $$\lg(x^2 + 2x + 2) < \lg 10 \Rightarrow x^2 + 2x + 2 < 10$$

Шаг 3. Решим квадратное неравенство

$$x^2 + 2x + 2 < 10 \Rightarrow x^2 + 2x — 8 < 0$$

Найдём корни:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 — 6}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Неравенство строгое, знак «меньше нуля»:

$$(x + 4)(x — 2) < 0 \Rightarrow x \in (-4; 2)$$

Ответ 1:

$$\boxed{-4 < x < 2}$$

2)

$$\log_3(x^2 + 7x — 5) > 1$$

Шаг 1. Область определения

Для логарифма:

$$x^2 + 7x — 5 > 0$$

Найдём границы:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 49 + 20 = 69$$ $$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{69}}{2} \approx \frac{-7 \pm 8.3}{2}$$ $$x_1 \approx \frac{-15.3}{2} = -7.65,\quad x_2 \approx \frac{1.3}{2} = 0.65$$

Парабола направлена вверх → знак неравенства «больше нуля»:

$$x < -7.65 \quad \text{или} \quad x > 0.65$$

Шаг 2. Решим логарифмическое неравенство

$$\log_3(x^2 + 7x — 5) > 1 = \log_3 3 \Rightarrow x^2 + 7x — 5 > 3 \Rightarrow x^2 + 7x — 8 > 0$$

Шаг 3. Найдём корни:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$ $$x_1 = \frac{-7 — 9}{2} = -8,\quad x_2 = \frac{-7 + 9}{2} = 1$$

Неравенство:

$$(x + 8)(x — 1) > 0 \Rightarrow x < -8 \quad \text{или} \quad x > 1$$

Шаг 4. Учитываем область определения:

Ранее нашли:

$$x < -7.65 \quad \text{или} \quad x > 0.65$$

Теперь пересекаем с решением:

• $x < -8$ и $x < -7.65$ → общее: $x < -8$
• $x > 1$ и $x > 0.65$ → общее: $x > 1$

Ответ 2:

$$\boxed{x < -8 \quad \text{или} \quad x > 1}$$