ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 863 Алимов — Подробные Ответы

Найти угол между осью Оу и касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х = 0:

1. f(x)=x+e^-x;
2. f(x) =cosx;
3. f(x) = корень (x+1) + ex/2.

Угол между касательной и осью $y$:

$$k = \operatorname{tg} a, \text{ отсюда } a = \operatorname{arctg} k, \text{ значит } \beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} k;$$

1) $f(x) = x + e^{-x}$ и $x_0 = 0$;

$$f'(x) = (x)’ + (e^{-x})’ = 1 + (-1) \cdot e^{-x} = 1 — e^{-x};$$ $$k = f'(0) = 1 — e^0 = 1 — 1 = 0;$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 0 = \frac{\pi}{2} — 0 = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $\beta = \frac{\pi}{2}$.

2) $f(x) = \cos x$ и $x_0 = 0$;

$$f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x;$$ $$k = f'(0) = -\sin 0 = 0;$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 0 = \frac{\pi}{2} — 0 = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $\beta = \frac{\pi}{2}$.

3) $f(x) = \sqrt{x+1} + e^{\frac{x}{2}}$ и $x_0 = 0$;

$$f'(x) = (x+1)^{\frac{1}{2}} + \left(e^{\frac{x}{2}}\right)’ = \frac{1}{2} \cdot (x+1)^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2};$$ $$k = f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0+1}} + \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1;$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4};$$

Ответ: $\beta = \frac{\pi}{4}$.

Найти угол между касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0 = 0$ и осью $y$, то есть угол наклона касательной.

Для этого нужно:

1. Найти производную функции $f(x)$.
2. Вычислить значение производной в точке $x_0$.
3. Используя значение производной, найти угловой коэффициент касательной (обозначим его $k$).
4. Найти угол наклона касательной $\beta$ через угловой коэффициент $k$ по формуле:

   $$k = \tan a, \quad a = \operatorname{arctg} k, \quad \beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} k$$

   где $a$ — угол наклона касательной к оси $x$, и $\beta$ — угол между касательной и осью $y$.

1) $f(x) = x + e^{-x}$ и $x_0 = 0$

Шаг 1: Находим производную функции

Функция состоит из двух слагаемых:

• $x$
• $e^{-x}$

Производная от $x$ равна 1:

$$\frac{d}{dx} (x) = 1$$

Производная от $e^{-x}$ по правилу дифференцирования экспоненты с отрицательным показателем:

$$\frac{d}{dx} \left( e^{-x} \right) = -e^{-x}$$

Теперь комбинируем полученные производные:

$$f'(x) = 1 — e^{-x}$$

Шаг 2: Находим значение производной в точке $x_0 = 0$

Теперь подставляем $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = 1 — e^0 = 1 — 1 = 0$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен $k = 0$.

Шаг 3: Находим угол наклона касательной $\beta$

Теперь применяем формулу для угла между касательной и осью $y$:

$$\beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} k$$

Подставляем $k = 0$:

$$\beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 0 = \frac{\pi}{2} — 0 = \frac{\pi}{2}$$

Ответ: $\beta = \frac{\pi}{2}$.

2) $f(x) = \cos x$ и $x_0 = 0$

Шаг 1: Находим производную функции

Производная функции $\cos x$ по стандартному правилу для тригонометрических функций:

$$\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$$

Шаг 2: Находим значение производной в точке $x_0 = 0$

Подставляем $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = -\sin 0 = 0$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен $k = 0$.

Шаг 3: Находим угол наклона касательной $\beta$

Применяем формулу для угла между касательной и осью $y$:

$$\beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} k$$

Подставляем $k = 0$:

$$\beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 0 = \frac{\pi}{2} — 0 = \frac{\pi}{2}$$

Ответ: $\beta = \frac{\pi}{2}$.

3) $f(x) = \sqrt{x+1} + e^{\frac{x}{2}}$ и $x_0 = 0$

Шаг 1: Находим производную функции

Функция состоит из двух слагаемых:

• $\sqrt{x+1}$
• $e^{\frac{x}{2}}$

Для первого слагаемого используем правило дифференцирования для выражений вида $(x + 1)^{\frac{1}{2}}$:

$$\frac{d}{dx} \left( (x+1)^{\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} (x+1)^{-\frac{1}{2}}$$

Для второго слагаемого $e^{\frac{x}{2}}$ применяем правило дифференцирования для экспоненциальных функций с показателем $\frac{x}{2}$:

$$\frac{d}{dx} \left( e^{\frac{x}{2}} \right) = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$$

Теперь комбинируем полученные производные:

$$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$$

Шаг 2: Находим значение производной в точке $x_0 = 0$

Подставляем $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = \frac{1}{2 \sqrt{0 + 1}} + \frac{1}{2} e^{0} = \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен $k = 1$.

Шаг 3: Находим угол наклона касательной $\beta$

Применяем формулу для угла между касательной и осью $y$:

$$\beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} k$$

Подставляем $k = 1$:

$$\beta = \frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$

Ответ: $\beta = \frac{\pi}{4}$.

Итоговые ответы:

1. $\beta = \frac{\pi}{2}$
2. $\beta = \frac{\pi}{2}$
3. $\beta = \frac{\pi}{4}$