ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 634 Алимов — Подробные Ответы

1. 2 cos2 2x + 3 sin 4x + 4 sin2 2x = 0;
2. 1 — sin x cos x + 2 cos2 x = 0;
3. 2 sin2 x + 1/4cos3 2x = 1;
4. sin2 2x + cos2 3x = 1 + 4 sin x.

$2 \cos^2 2x + 3 \sin 4x + 4 \sin^2 2x = 0$;
$2 \cos^2 2x + 6 \sin 2x \cdot \cos 2x + 4 \sin^2 2x = 0 \quad | : \cos^2 2x$;
$2 + 6 \operatorname{tg} 2x + 4 \operatorname{tg}^2 2x = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} 2x$, тогда:
$4y^2 + 6y + 2 = 0$;
$2y^2 + 3y + 1 = 0$;
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$, тогда:
$y_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1$ и $y_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$;

Первое уравнение:
$\operatorname{tg} 2x = -1$;
$2x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;
$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:
$\operatorname{tg} 2x = -\frac{1}{2}$;
$2x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n$;
$x = \frac{1}{2} \left( -\arctg \frac{1}{2} + \pi n \right) = -\frac{1}{2} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$; $-\frac{1}{2} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$.

$1 — \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x = 0$;
$\cos^2 x + \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x = 0$;
$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$;
$\operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x + 3 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:
$y^2 — y + 3 = 0$;
$D = 1^2 — 4 \cdot 3 = 1 — 12 = -11$;
$D < 0$, значит корней нет;

Ответ: корней нет.

$2 \sin^2 x + \frac{1}{4} \cos^3 2x = 1$;
$2 \sin^2 x — (\cos^2 x + \sin^2 x) + \frac{1}{4} \cos^3 2x = 0$;
$-(\cos^2 x — \sin^2 x) + \frac{1}{4} \cos^3 2x = 0$;
$-\cos 2x + \frac{1}{4} \cos^3 2x = 0$;

Пусть $y = \cos 2x$, тогда:
$\frac{1}{4} y^3 — y = 0$;
$y \left( \frac{1}{4} y^2 — 1 \right) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos 2x = 0$;
$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:
$\frac{1}{4} \cos^2 2x — 1 = 0$;
$\frac{1}{4} \cos^2 2x = 1$;
$\cos^2 2x = 4$;
$\cos 2x = \pm 2$ — корней нет;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

$\sin^2 2x + \cos^2 3x = 1 + 4 \sin x$;
$\sin^2 2x — (1 — \cos^2 3x) = 4 \sin x$;
$\sin^2 2x — \sin^2 3x = 4 \sin x$;
$(\sin 2x + \sin 3x)(\sin 2x — \sin 3x) = 4 \sin x$;
$2 \cdot \sin \frac{2x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{2x — 3x}{2} \cdot 2 \cdot \sin \frac{2x — 3x}{2} \cdot \cos \frac{2x + 3x}{2} = 4 \sin x$;
$4 \cdot \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \left( -\frac{x}{2} \right) \cdot \sin \left( -\frac{x}{2} \right) \cdot \cos \frac{5x}{2} = 4 \sin x$;
$-2 \cdot \sin 5x \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} = 4 \sin x$;
$-\sin x \cdot \sin 5x — 4 \sin x = 0$;
$-\sin x (\sin 5x + 4) = 0$;

Первое уравнение:
$\sin x = 0$;
$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;

Второе уравнение:
$\sin 5x + 4 = 0$;
$\sin 5x = -4$ — корней нет.

Ответ: $\pi n$.

1) $2 \cos^2 2x + 3 \sin 4x + 4 \sin^2 2x = 0$

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества.

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$2 \cos^2 2x + 3 \cdot 2 \sin 2x \cos 2x + 4 \sin^2 2x = 0$$

Упростим:

$$2 \cos^2 2x + 6 \sin 2x \cos 2x + 4 \sin^2 2x = 0$$

Шаг 2: Разделим на $\cos^2 2x$.

$$\frac{2 \cos^2 2x}{\cos^2 2x} + \frac{6 \sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} + \frac{4 \sin^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$$

Упростим:

$$2 + 6 \operatorname{tg} 2x + 4 \operatorname{tg}^2 2x = 0$$

Шаг 3: Пусть $y = \operatorname{tg} 2x$.

Тогда получаем квадратное уравнение:

$$4y^2 + 6y + 2 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Разделим на 2:

$$2y^2 + 3y + 1 = 0$$

Теперь найдем дискриминант $D$:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Шаг 5: Найдем корни уравнения.

$$y_1 = \frac{-3 — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 — 1}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$$

Теперь найдем значения $x$.

Шаг 6: Первое уравнение $\operatorname{tg} 2x = -1$.

$$2x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 7: Второе уравнение $\operatorname{tg} 2x = -\frac{1}{2}$.

$$2x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( -\arctg \frac{1}{2} + \pi n \right) = -\frac{1}{2} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = -\frac{1}{2} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$$

2) $1 — \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

$$\cos^2 x + \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x = 0$$

Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$1 — \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x = 0$$

Шаг 2: Разделим на $\cos^2 x$.

$$\frac{1}{\cos^2 x} — \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} + 2 = 0$$ $$\sec^2 x — \sin x \cdot \operatorname{tg} x + 2 = 0$$

Шаг 3: Пусть $y = \operatorname{tg} x$.

Тогда:

$$\operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x + 3 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

$$y^2 — y + 3 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 — 12 = -11$$

Шаг 5: Нет действительных корней, так как $D < 0$.

Ответ:

$$\text{Корней нет.}$$

3) $2 \sin^2 x + \frac{1}{4} \cos^3 2x = 1$

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

$$2 \sin^2 x + \frac{1}{4} \cos^3 2x = 1$$ $$2 \sin^2 x — (\cos^2 x + \sin^2 x) + \frac{1}{4} \cos^3 2x = 0$$ $$-(\cos^2 x — \sin^2 x) + \frac{1}{4} \cos^3 2x = 0$$ $$-\cos 2x + \frac{1}{4} \cos^3 2x = 0$$

Шаг 2: Пусть $y = \cos 2x$.

Тогда:

$$\frac{1}{4} y^3 — y = 0$$ $$y \left( \frac{1}{4} y^2 — 1 \right) = 0$$

Шаг 3: Решим первое уравнение $y = 0$.

$$\cos 2x = 0$$ $$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 4: Решим второе уравнение $\frac{1}{4} y^2 — 1 = 0$.

$$\frac{1}{4} \cos^2 2x = 1$$ $$\cos^2 2x = 4$$ $$\cos 2x = \pm 2$$

Корней нет, так как $|\cos 2x| \leq 1$.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

4) $\sin^2 2x + \cos^2 3x = 1 + 4 \sin x$

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

$$\sin^2 2x + \cos^2 3x = 1 + 4 \sin x$$ $$\sin^2 2x — (1 — \cos^2 3x) = 4 \sin x$$ $$\sin^2 2x — \sin^2 3x = 4 \sin x$$

Шаг 2: Используем формулы суммы и разности синусов.

$$(\sin 2x + \sin 3x)(\sin 2x — \sin 3x) = 4 \sin x$$ $$2 \cdot \sin \frac{2x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{2x — 3x}{2} \cdot 2 \cdot \sin \frac{2x — 3x}{2} \cdot \cos \frac{2x + 3x}{2} = 4 \sin x$$

Шаг 3: Упростим выражение.

$$-2 \cdot \sin 5x \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} = 4 \sin x$$ $$-\sin x \cdot \sin 5x — 4 \sin x = 0$$ $$-\sin x (\sin 5x + 4) = 0$$

Шаг 4: Решим первое уравнение $\sin x = 0$.

$$x = \pi n$$

Шаг 5: Решим второе уравнение $\sin 5x + 4 = 0$.

$$\sin 5x = -4$$

Корней нет, так как $|\sin 5x| \leq 1$.

Ответ:

$$x = \pi n$$