ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 666 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (666—667).

1. sin(arccos корень 3/2);
2. tg(arccos 1/2);
3. tg(arccos корень 2/2).

1. $\sin (\arccos \frac{\sqrt{3}}{2})=\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$;
2. $\mathrm{tg}(\arccos \frac{1}{2})=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$;
3. $\mathrm{tg}(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}\right)=1$

1) $\sin (\arccos \frac{\sqrt{3}}{2})$

Шаг 1. Определим угол:

$$\theta =\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Это означает, что

$$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2. Найдём значение угла $\theta$:

Из таблицы значений косинуса известно, что

$$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно,

$$\theta =\frac{\pi }{6}$$

Шаг 3. Найдём $\sin \theta$:

Используем основное тригонометрическое тождество:

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

Подставляем:

$${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$

Шаг 4. Берём положительный корень (поскольку угол $\theta =\frac{\pi }{6}$ лежит в первом квадранте, где синус положителен):

$$\sin \theta =\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\sin (\arccos \frac{\sqrt{3}}{2})=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$$

2) $\mathrm{tg}(\arccos \frac{1}{2})$

Шаг 1. Определим угол:

$$\alpha =\arccos \frac{1}{2}$$

Это означает, что

$$\cos \alpha =\frac{1}{2}$$

Шаг 2. Найдём значение угла $\alpha$:

Из таблицы значений косинуса известно, что

$$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$$

Следовательно,

$$\alpha =\frac{\pi }{3}$$

Шаг 3. Найдём $\tan \alpha$:

$$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$$

Шаг 4. Найдём $\sin \alpha$ через основное тождество:

$${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Берём положительный корень (угол в первом квадранте):

$$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 5. Вычисляем тангенс:

$$\tan \alpha =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

Ответ:

$$\mathrm{tg}(\arccos \frac{1}{2})=\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$$

3) $\mathrm{tg}(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})$

Шаг 1. Определим угол:

$$\beta =\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Это означает, что

$$\cos \beta =\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2. Найдём значение угла $\beta$:

Из таблицы значений косинуса известно, что

$$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно,

$$\beta =\frac{\pi }{4}$$

Шаг 3. Найдём $\tan \beta$:

$$\tan \beta =\frac{\sin \beta }{\cos \beta }$$

Шаг 4. Найдём $\sin \beta$:

Используем тождество:

$${\sin }^2\beta =1-{\cos }^2\beta =1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=1-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Поскольку $\beta$ в первом квадранте, синус положителен:

$$\sin \beta =\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5. Вычисляем тангенс:

$$\tan \beta =\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1$$

Ответ:

$$\mathrm{tg}(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$$