ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 945 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее значение функции:

1. 3 корень x — x корень х на промежутке (0; +бесконечность);
2. 3х-2х корень x на промежутке (0; +бесконечность).

1) $f(x) = 3\sqrt{x} — x\sqrt{x}$ на отрезке $(0; +\infty)$;

$f'(x) = 3 \cdot (\sqrt{x})’ — \left( x^{3/2} \right)’ = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{3}{2} \cdot x^{1/2} = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{x}} — \sqrt{x} \right);$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} — \sqrt{x} > 0;$$ $$1 — x > 0, \text{ отсюда } x < 1;$$

Значения функции:

$$f(1) = 3 \cdot \sqrt{1} — 1 \cdot \sqrt{1} = 3 — 1 = 2;$$

Ответ: $y_{\text{max}} = 2$.

2) $f(x) = 3x — 2x\sqrt{x}$ на отрезке $(0; +\infty)$;

$f'(x) = (3x)’ — 2 \cdot \left( x^{3/2} \right)’ = 3 — 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{1/2} = 3 \cdot (1 — \sqrt{x});$

Промежуток возрастания:

$$1 — \sqrt{x} > 0;$$ $$\sqrt{x} < 1, \text{ отсюда } x < 1;$$

Значения функции:

$$f(1) = 3 \cdot 1 — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} = 3 — 2 = 1;$$

Ответ: $y_{\text{max}} = 1$.

1) $f(x) = 3\sqrt{x} — x\sqrt{x}$, область: $(0; +\infty)$

Шаг 1. Упростим выражение функции

Запишем функцию в виде степеней:

$$f(x) = 3\sqrt{x} — x\sqrt{x} = 3x^{1/2} — x \cdot x^{1/2} = 3x^{1/2} — x^{3/2}$$

Шаг 2. Найдём производную

Используем стандартные правила дифференцирования степенных функций:

• $(x^{1/2})’ = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(x^{3/2})’ = \frac{3}{2}x^{1/2}$

Теперь найдём $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(3x^{1/2} — x^{3/2}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{3}{2}x^{1/2}$$

Вынесем общий множитель $\frac{3}{2}$:

$$f'(x) = \frac{3}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}} — \sqrt{x}\right)$$

Шаг 3. Исследуем знак производной

Рассмотрим неравенство $f'(x) > 0$ — чтобы определить промежутки возрастания.

$$\frac{1}{\sqrt{x}} — \sqrt{x} > 0$$

Переносим $\sqrt{x}$ вправо:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} > \sqrt{x}$$

Умножим обе части на $\sqrt{x} > 0$ (в пределах области определения):

$$1 > x \Rightarrow x < 1$$

Шаг 4. Вывод о возрастании и убывании

• При $x < 1$: $f'(x) > 0$, значит функция возрастает;
• При $x > 1$: $f'(x) < 0$, значит функция убывает.

Следовательно, точка максимума — это $x = 1$.

Шаг 5. Найдём значение функции в точке максимума

$$f(1) = 3 \cdot \sqrt{1} — 1 \cdot \sqrt{1} = 3 — 1 = 2$$

Ответ:

$$\boxed{y_{\text{max}} = 2}$$

2) $f(x) = 3x — 2x\sqrt{x}$, область: $(0; +\infty)$

Шаг 1. Преобразуем выражение

Представим в виде степенных функций:

$$f(x) = 3x — 2x\sqrt{x} = 3x — 2x \cdot x^{1/2} = 3x — 2x^{3/2}$$

Шаг 2. Найдём производную

Используем правила:

• $(3x)’ = 3$
• $(x^{3/2})’ = \frac{3}{2}x^{1/2}$

Тогда:

$$f'(x) = 3 — 2 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 3 — 3\sqrt{x}$$

Вынесем 3:

$$f'(x) = 3(1 — \sqrt{x})$$

Шаг 3. Найдём, где функция возрастает

Рассматриваем неравенство:

$$f'(x) > 0 \Rightarrow 3(1 — \sqrt{x}) > 0$$

Разделим на 3:

$$1 — \sqrt{x} > 0 \Rightarrow \sqrt{x} < 1 \Rightarrow x < 1$$

Шаг 4. Вывод о поведении функции

• При $x < 1$: $f'(x) > 0$, функция возрастает;
• При $x > 1$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

Значит, максимум достигается при $x = 1$.

Шаг 5. Значение функции в точке максимума

$$f(1) = 3 \cdot 1 — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} = 3 — 2 = 1$$

Ответ:

$$\boxed{y_{\text{max}} = 1}$$