ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 234 Алимов — Подробные Ответы

1. y= корень (25x-5x);
2. y= корень (4x-1).

1)

$$y = \sqrt{25^x — 5^x};$$

Выражение имеет смысл при:

$$25^x — 5^x \geq 0;$$ $$5^{2x} — 5^x \geq 0;$$ $$5^{2x} \geq 5^x;$$ $$2x \geq x;$$ $$x \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0.$$

Ответ: $D(x) = [0; +\infty).$

2)

$$y = \sqrt{4^x — 1};$$

Выражение имеет смысл при:

$$4^x — 1 \geq 0;$$ $$4^x \geq 1;$$ $$4^x \geq 3^0, \text{ отсюда } x \geq 0;$$

Ответ: $D(x) = [0; +\infty).$

1)

$$y = \sqrt{25^x — 5^x}$$

Шаг 1: Условие существования

Корень квадратный $\sqrt{a}$ определён только при $a \geq 0$.
Значит, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$25^x — 5^x \geq 0$$

Шаг 2: Преобразование степеней

Заметим, что $25 = 5^2$, тогда:

$$25^x = (5^2)^x = 5^{2x}$$

Подставим:

$$5^{2x} — 5^x \geq 0$$

Шаг 3: Вынесем $5^x$ за скобки

Заметим, что $5^{2x} = (5^x)^2$, и мы можем вынести $5^x$:

$$5^x (5^x — 1) \geq 0$$

Шаг 4: Исследуем знак произведения

Рассмотрим произведение $5^x (5^x — 1)$:

• $5^x > 0$ — всегда, так как показатель положительный при любом $x \in \mathbb{R}$.
• Тогда знак всего выражения зависит только от $5^x — 1$.

Значит, нужно:

$$5^x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 5^x \geq 1$$

Шаг 5: Переход к линейному неравенству

$$5^x \geq 5^0 \Rightarrow x \geq 0$$

✅ Ответ:

$$D(x) = [0; +\infty)$$

2)

$$y = \sqrt{4^x — 1}$$

Шаг 1: Условие существования

Для существования квадратного корня:

$$4^x — 1 \geq 0$$

Шаг 2: Изолируем показательную функцию

$$4^x \geq 1$$

Шаг 3: Приведение к одинаковому основанию

$$4^x \geq 4^0 \Rightarrow x \geq 0$$

Здесь не стоит путать: $4^x$ — возрастающая функция, поэтому знак неравенства сохраняется.

✅ Ответ:

$$D(x) = [0; +\infty)$$