ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 813 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х значение производной функции у = (х — З)5 (2 + 5х)6 равно 0?

$y = (x — 3)^5 \cdot (2 + 5x)^6;$

y’ = (x — 3)^5 \cdot (2 + 5x)^6 + (x — 3)^5 \cdot (2 + 5x)^6′;

$y’ = 5(x — 3)^4 \cdot (2 + 5x)^6 + (x — 3)^5 \cdot 6 \cdot 5(2 + 5x)^5;$

$y’ = 5(x — 3)^4 \cdot (2 + 5x)^6 + 30(x — 3)^5 \cdot (2 + 5x)^5;$

$y’ = 5(x — 3)^4 \cdot (2 + 5x)^5 \cdot (2 + 5x + 6x — 18);$

$y’ = 5 \cdot (x — 3)^4 \cdot (2 + 5x)^5 \cdot (11x — 16) = 0;$

Первое уравнение:

$x — 3 = 0,$ отсюда $x = 3;$

Второе уравнение:

$2 + 5x = 0;$

$5x = -2,$ отсюда $x = -\frac{2}{5} = -0,4;$

Третье уравнение:

$11x — 16 = 0;$

$11x = 16,$ отсюда $x = \frac{16}{11} = 1 \frac{5}{11};$

Ответ: $-0,4;1\frac{5}{11};3.$

Дано:

$$y = (x — 3)^5 \cdot (2 + 5x)^6$$

Найти производную $y’$ и найти корни уравнения $y’ = 0$.

Шаг 1: Найдём производную функции $y$

У нас функция представлена как произведение двух выражений:

$$y = u \cdot v, \quad \text{где } u = (x — 3)^5, \quad v = (2 + 5x)^6$$

Для нахождения производной используем правило произведения:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Применим:

$$y’ = \left( (x — 3)^5 \right)’ \cdot (2 + 5x)^6 + (x — 3)^5 \cdot \left( (2 + 5x)^6 \right)’$$

Шаг 2: Найдём каждую производную по отдельности

Производная первого множителя:

$$\left( (x — 3)^5 \right)’ = 5(x — 3)^{5 — 1} = 5(x — 3)^4$$

Производная второго множителя:

$$\left( (2 + 5x)^6 \right)’ = 6(2 + 5x)^{6 — 1} \cdot (2 + 5x)’ = 6(2 + 5x)^5 \cdot 5 = 30(2 + 5x)^5$$

Шаг 3: Подставим всё обратно в формулу производной

$$y’ = 5(x — 3)^4 \cdot (2 + 5x)^6 + (x — 3)^5 \cdot 30(2 + 5x)^5$$

Шаг 4: Вынесем общий множитель

У обоих слагаемых есть общие множители:

• $(x — 3)^4$ — есть и там и там (во втором слагаемом степень 5, можно выделить $(x — 3)^4$ и оставить $(x — 3)^1$ внутри),
• $(2 + 5x)^5$ — есть и там и там (в первом степень 6, выделим $(2 + 5x)^5$, останется $(2 + 5x)^1$ внутри).

Вынесем общий множитель:

$$y’ = (x — 3)^4 \cdot (2 + 5x)^5 \cdot \left[ 5(2 + 5x) + 30(x — 3) \right]$$

Шаг 5: Раскроем скобки и упростим

Раскроем выражение в квадратных скобках:

Первое слагаемое:

$$5(2 + 5x) = 10 + 25x$$

Второе слагаемое:

$$30(x — 3) = 30x — 90$$

Складываем:

$$10 + 25x + 30x — 90 = (25x + 30x) + (10 — 90) = 55x — 80$$

Шаг 6: Запишем окончательно производную

$$y’ = (x — 3)^4 \cdot (2 + 5x)^5 \cdot (55x — 80)$$

Или для компактности:

$$y’ = 5(x — 3)^4 \cdot (2 + 5x)^5 \cdot (11x — 16)$$

Шаг 7: Найдём корни уравнения $y’ = 0$

Рассматриваем произведение трёх множителей:

$$5(x — 3)^4 \cdot (2 + 5x)^5 \cdot (11x — 16) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Первый множитель:

$$(x — 3)^4 = 0 \Rightarrow x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Второй множитель:

$$(2 + 5x)^5 = 0 \Rightarrow 2 + 5x = 0 \Rightarrow 5x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{5} = -0{,}4$$

Третий множитель:

$$11x — 16 = 0 \Rightarrow 11x = 16 \Rightarrow x = \frac{16}{11} = 1 \frac{5}{11}$$

Шаг 8: Запишем окончательный ответ

$$\boxed{ -0{,}4; \quad 1 \frac{5}{11}; \quad 3 }$$