ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 744 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции и выяснить её свойства:

1. y= tg(x+пи/4);
2. y= tgx/2.

1) $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

а) Область определения:

$$x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

б) Область значений:

$$E(y) = (-\infty; +\infty);$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\operatorname{tg}\left(x + T + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$$ $$T = \pi;$$

г) Функция ни четная, ни нечетная:

$$y(-x) = \operatorname{tg}\left(-x + \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{4}\right);$$

д) Нули функции:

$$\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0;$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

е) Свойства функции:

• Возрастает при $-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n;$
• Положительна при $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n;$
• Отрицательна при $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n;$

2) $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2};$

а) Область определения:

$$\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = \pi + 2\pi n;$$

б) Область значений:

$$E(y) = (-\infty; +\infty);$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\operatorname{tg}\left(\frac{1}{2} \cdot (x + T)\right) = \operatorname{tg}\frac{x}{2};$$ $$\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} + \frac{T}{2}\right) = \operatorname{tg}\frac{x}{2};$$ $$\frac{T}{2} = \pi;$$ $$T = 2\pi;$$

г) Функция нечетная:

$$y(-x) = \operatorname{tg}\left(-\frac{x}{2}\right) = -\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -y(x);$$

д) Нули функции:

$$\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 0;$$ $$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = 2\pi n;$$

е) Свойства функции:

• Возрастает при $-\pi + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n;$
• Положительна при $2\pi n < x < \pi + 2\pi n;$
• Отрицательна при $-\pi +2\pi n<x<2\pi n$

1) Функция $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

а) Область определения

Функция тангенс не определена в точках, где аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, так как в этих точках происходит вертикальная асимптота (значение стремится к бесконечности).

Пусть:

$$x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,$$

тогда

$$x \neq \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Значит, область определения — все $x$, кроме точек:

$$x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

б) Область значений

Функция тангенс принимает любые значения от $-\infty$ до $+\infty$ на своих промежутках определения.

Значит:

$$E(y) = (-\infty, +\infty).$$

в) Период функции

Тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$.

Проверим период для нашей функции:

$$y(x+T) = y(x),$$

т.е.

$$\operatorname{tg}\left(x + T + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right).$$

Из периодичности тангенса:

$$T = \pi.$$

То есть функция повторяется с периодом $\pi$.

г) Чётность функции

Определение:

• Чётная функция: $f(-x) = f(x)$.
• Нечётная функция: $f(-x) = -f(x)$.

Рассчитаем $y(-x)$:

$$y(-x) = \operatorname{tg}\left(-x + \frac{\pi}{4}\right).$$

Используем формулу тангенса разности:

$$\tan(-\theta) = -\tan \theta,$$

но тут аргумент не просто $-x$, а $-x + \frac{\pi}{4}$.

$$y(-x) = \operatorname{tg}\left(-\left(x — \frac{\pi}{4}\right)\right) = -\operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{4}\right).$$

Так как

$$y(x) = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right),$$

то

$$y(-x) \neq y(x) \quad \text{и} \quad y(-x) \neq -y(x),$$

следовательно функция ни чётная, ни нечётная.

д) Нули функции

Нули — точки, в которых функция равна нулю.

$$\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0.$$

Тангенс равен нулю в точках:

$$\theta = \operatorname{arctg}(0) + \pi n = \pi n.$$

Значит:

$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

е) Свойства функции

• Возрастает: Тангенс строго возрастает на каждом промежутке между асимптотами, которые у нас по $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Возрастание на промежутке:

$$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

• Положительна: Тангенс положителен там, где его значение больше нуля. Учитывая сдвиг, это:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

• Отрицательна: Тангенс отрицателен там, где его значение меньше нуля:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n.$$

2) Функция $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$

а) Область определения

Тангенс не определён там, где аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

Пусть:

$$\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,$$

откуда

$$x \neq 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = \pi + 2\pi n.$$

Область определения: все $x$, кроме точек:

$$x \neq \pi + 2\pi n.$$

б) Область значений

Функция принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$:

$$E(y) = (-\infty, +\infty).$$

в) Период функции

Пусть $T$ — период функции, тогда:

$$y(x + T) = y(x),$$

т.е.

$$\operatorname{tg}\left(\frac{x + T}{2}\right) = \operatorname{tg}\frac{x}{2}.$$

Используем периодичность тангенса $\pi$:

$$\frac{T}{2} = \pi \Rightarrow T = 2\pi.$$

г) Чётность функции

Рассмотрим:

$$y(-x) = \operatorname{tg}\left(-\frac{x}{2}\right) = -\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -y(x).$$

Это означает, что функция нечётная.

д) Нули функции

Нули функции при:

$$\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 0.$$

Тангенс равен нулю в точках:

$$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}0 + \pi n = \pi n,$$

откуда

$$x = 2 \pi n.$$

е) Свойства функции

• Возрастает при:

$$-\pi + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n.$$

• Положительна при:

$$2\pi n < x < \pi + 2\pi n.$$

• Отрицательна при:

$$-\pi + 2\pi n < x < 2\pi n.$$