ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 318 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить числа:

1. log3(6/5) и log3(5/6);
2. log1/3(9) и log1/3(17);
3. log1/2(e) и log1/2(пи);
4. log2(корень 5/2) и log2(корень 3/2).

Сравнить числа:

$\log_{3} \frac{6}{5}$ и $\log_{3} \frac{5}{6}$;

$$\frac{6}{5} = \frac{36}{30} \quad \text{и} \quad \frac{5}{6} = \frac{25}{30};$$

Функция $y = \log_{3} x$ возрастает, значит:

$$y\left(\frac{36}{30}\right)>y\left(\frac{25}{30}\right);$$

$$y\left(\frac{36}{30}\right) > y\left(\frac{25}{30}\right);$$ $$\log_{3} \frac{6}{5} > \log_{3} \frac{5}{6};$$

$\log_{\frac{1}{3}} 9$ и $\log_{\frac{1}{3}} 17$;

Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывает, значит:

$$y(9)>y(17);$$

$$y(9) > y(17);$$ $$\log_{\frac{1}{3}} 9 > \log_{\frac{1}{3}} 17;$$

$\log_{\frac{1}{2}} e$ и $\log_{\frac{1}{2}} \pi$;

$$e \approx 2,72 \quad \text{и} \quad \pi \approx 3,14;$$

Функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ убывает, значит:

$$y(2,72)>y(3,14);$$

$$y(2,72) > y(3,14);$$ $$\log_{\frac{1}{2}} e > \log_{\frac{1}{2}} \pi;$$

$\log_{2} \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\log_{2} \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$5 > 3 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{5} > \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Функция $y = \log_{2} x$ возрастает, значит:

$$y\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)>y\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$$

$$y\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) > y\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$$ $$\log_{2} \frac{\sqrt{5}}{2} > \log_{2} \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Условие: Сравнить пары логарифмов, используя свойства логарифмической функции.

1) Сравнить

$$\log_{3} \frac{6}{5} \quad \text{и} \quad \log_{3} \frac{5}{6}$$

Шаг 1. Понимаем, что основания логарифмов одинаковы:

$$\text{Основание } 3 > 1 \Rightarrow \text{логарифмическая функция } y = \log_3 x \text{ возрастает}$$

Шаг 2. Сравним аргументы:

$$\frac{6}{5} > \frac{5}{6}$$

Можно привести к общему знаменателю:

$$\frac{6}{5} = \frac{36}{30}, \quad \frac{5}{6} = \frac{25}{30} \Rightarrow \frac{36}{30} > \frac{25}{30}$$

Шаг 3. Делая вывод с учетом возрастающей функции:

$$\log_{3} \left(\frac{6}{5}\right) > \log_{3} \left(\frac{5}{6}\right)$$

2) Сравнить

$$\log_{\frac{1}{3}} 9 \quad \text{и} \quad \log_{\frac{1}{3}} 17$$

Шаг 1. Определим свойства функции:

$$\text{Основание } \frac{1}{3} < 1 \Rightarrow \text{логарифмическая функция убывает}$$

Шаг 2. Сравним аргументы:

$$9 < 17 \Rightarrow \text{при убывающей функции: } \log_{\frac{1}{3}} 9 > \log_{\frac{1}{3}} 17$$

3) Сравнить

$$\log_{\frac{1}{2}} e \quad \text{и} \quad \log_{\frac{1}{2}} \pi$$

Шаг 1. Уточним значения чисел:

• $e \approx 2.72$
• $\pi \approx 3.14$

Шаг 2. Основание:

$$\frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \text{логарифмическая функция убывает}$$

Шаг 3. Сравнение:

$$e < \pi \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} e > \log_{\frac{1}{2}} \pi$$

4) Сравнить

$$\log_{2} \frac{\sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad \log_{2} \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 1. Сравним подлогарифмические выражения:

Так как $5 > 3 \Rightarrow \sqrt{5} > \sqrt{3}$, то:

$$\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2. Основание:

$$2 > 1 \Rightarrow \text{функция возрастающая}$$

Шаг 3. Делая вывод:

$$\log_2 \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right) > \log_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

Окончательные ответы:

1. $\log_{3} \frac{6}{5} > \log_{3} \frac{5}{6}$
2. $\log_{\frac{1}{3}} 9 > \log_{\frac{1}{3}} 17$
3. $\log_{\frac{1}{2}} e > \log_{\frac{1}{2}} \pi$
4. $\log_{2} \frac{\sqrt{5}}{2} > \log_{2} \frac{\sqrt{3}}{2}$