ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 875 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:

1. f (х) = 2х3 — х2;
2. f (х) = -3х3 + 2х2 + 4;
3. f(x) = х5 — 5х3 — 20х;
4. f(x) = (х + 3)3 (х — 4)2;
5. f(x) =(3x+1)/(x-2);
6. f (х) = X2 + 2/x.

1) $f(x) = 2x^3 — x^2;$
$f'(x) = 2 \cdot (x^3)’ — (x^2)’ = 2 \cdot 3x^2 — 2x = 6x^2 — 2x;$

Производная равна нулю при:
$6x^2 — 2x = 0;$
$2x \cdot (3x — 1) = 0;$
$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = \frac{1}{3};$

Производная положительна при:
$2x \cdot (3x — 1) > 0;$
$x < 0 \text{ или } x > \frac{1}{3};$

Производная отрицательна при:
$2x \cdot (3x — 1) < 0;$
$0 \leq x < \frac{1}{3};$

2) $f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4;$
$f'(x) = -3 \cdot (x^3)’ + 2 \cdot (x^2)’ + (4)’;$
$f'(x) = -3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x + 0;$
$f'(x) = -9x^2 + 4x;$

Производная равна нулю при:
$-9x^2 + 4x = 0;$
$x(-9x + 4) = 0;$
$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = \frac{4}{9};$

Производная положительна при:
$x(-9x + 4) > 0;$
$x(9x — 4) < 0;$
$0 < x < \frac{4}{9};$

Производная отрицательна при:
$x(9x — 4) > 0;$
$x < 0 \text{ или } x > \frac{4}{9};$

3) $f(x) = x^5 — 5x^3 — 20x;$
$f'(x) = (x^5)’ — 5(x^3)’ — (20x)’;$
$f'(x) = 5x^4 — 5 \cdot 3x^2 — 20 = 5x^4 — 15x^2 — 20;$

Производная равна нулю при:
$5x^4 — 15x^2 — 20 = 0;$
$5(x^4 — 3x^2 — 4) = 0;$
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда:}$
$x_1^2 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \text{ и } x_2^2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$
$x^2 = 4, \text{ отсюда } x = \pm 2;$

Производная положительна при:
$(x — 2)(x + 2) > 0;$
$x < -2 \text{ или } x > 2;$

Производная отрицательна при:
$(x — 2)(x + 2) < 0;$
$-2 < x < 2;$

4) $f(x) = (x + 3)^3 \cdot (x — 4)^2;$
$f'(x) = (x + 3)^3 \cdot (x — 4)^2 + (x + 3)^3 \cdot (x — 4)^2;$
$f'(x) = 3(x + 3)^2 \cdot (x — 4)^2 + (x + 3)^3 \cdot 2(x — 4);$
$f'(x) = (x — 4) \cdot (x + 3)^2 \cdot (3(x — 4) + 2(x + 3));$
$f'(x) = (x — 4) \cdot (x + 3)^2 \cdot (3x — 12 + 2x + 6);$
$f'(x) = (x — 4) \cdot (x + 3)^2 \cdot (5x — 6);$

Производная равна нулю при:
$(x — 4) \cdot (x + 3)^2 \cdot (5x — 6) = 0;$
$x_1 = 4, \, x_2 = -3 \text{ и } x_3 = 1.2;$

Производная положительна при:
$(x + 3)^2 \cdot (5x — 6)(x — 4) > 0;$
$x < -3, \, -3 < x < 1.2 \text{ или } x > 4;$

Производная отрицательна при:
$(5x — 6)(x — 4) < 0;$
$1.2 < x < 4;$

5) $f(x) = \frac{3x + 1}{x — 2};$
$f'(x) = \frac{(3x + 1)’ \cdot (x — 2) — (3x + 1) \cdot (x — 2)’}{(x — 2)^2};$
$f'(x) = \frac{3(x — 2) — (3x + 1) \cdot 1}{(x — 2)^2};$
$f'(x) = \frac{3x — 6 — 3x — 1}{(x — 2)^2};$
$f'(x) = -\frac{7}{(x — 2)^2};$

Производная не равна нулю;
Производная не положительна;
Производная отрицательна при:
$x — 2 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 2;$

6) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x};$
$f'(x) = (x^2)’ + 2 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)’;$
$f'(x) = 2x + 2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2\left(x — \frac{1}{x^2}\right);$

Выражение имеет смысл при:
$x \neq 0;$

Производная равна нулю при:
$x — \frac{1}{x^2} = 0;$
$x^3 — 1 = 0;$
$x^3 = 1, \text{ отсюда } x = 1;$

Производная положительна при:
$x^3 — 1 > 0;$
$x^3 > 1, \text{ отсюда } x > 1;$

Производная отрицательна при:
$x^3 — 1 < 0;$
$x^3 < 1;$
$x < 0 \text{ или } 0 < x < 1;$$$\boxed{875}$$

Задача 1

Дано:

$f(x) = 2x^3 — x^2$

Нужно найти производную $f'(x)$ и исследовать ее знаки.

Решение:

Для нахождения производной $f'(x)$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^n$ равна $nx^{n-1}$.
• Производная от $2x^3$ по правилу степени:

$$\frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2.$$

• Производная от $-x^2$ по правилу степени:

$$\frac{d}{dx}(-x^2) = -2x.$$

Складываем полученные производные:

$$f'(x) = 6x^2 — 2x.$$

Чтобы найти, при каких значениях $x$ производная равна нулю, решаем уравнение $f'(x) = 0$:

$$6x^2 — 2x = 0.$$

Вынесем общий множитель $2x$:

$$2x(3x — 1) = 0.$$

Получаем два корня:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1}{3}.$$

Чтобы исследовать, при каких значениях $x$ производная положительна или отрицательна, рассмотрим знак выражения $2x(3x — 1)$:

• Для $x < 0$, произведение будет положительным, потому что оба множителя отрицательны.
• Для $x > \frac{1}{3}$, произведение будет также положительным.
• Для $0 \leq x < \frac{1}{3}$, произведение будет отрицательным.

Ответ:

• Производная равна нулю при $x = 0$ и $x = \frac{1}{3}$.
• Производная положительна при $x < 0$ или $x > \frac{1}{3}$.
• Производная отрицательна при $0 \leq x < \frac{1}{3}$.

Задача 2

Дано:

$f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4$

Нужно найти производную $f'(x)$ и исследовать ее знаки.

Решение:

Применяем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $-3x^3$:

$$\frac{d}{dx}(-3x^3) = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2.$$

• Производная от $2x^2$:

$$\frac{d}{dx}(2x^2) = 2 \cdot 2x = 4x.$$

• Производная от константы $4$ равна 0.

Складываем производные:

$$f'(x) = -9x^2 + 4x.$$

Чтобы найти, при каких значениях $x$ производная равна нулю, решаем уравнение $f'(x) = 0$:

$$-9x^2 + 4x = 0.$$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(-9x + 4) = 0.$$

Получаем два корня:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4}{9}.$$

Исследуем знак выражения $x(-9x + 4)$:

• Для $0 < x < \frac{4}{9}$, произведение будет положительным, так как $x > 0$ и $-9x + 4 > 0$.
• Для $x < 0$ или $x > \frac{4}{9}$, произведение будет отрицательным.

Ответ:

• Производная равна нулю при $x = 0$ и $x = \frac{4}{9}$.
• Производная положительна при $0 < x < \frac{4}{9}$.
• Производная отрицательна при $x < 0$ или $x > \frac{4}{9}$.

Задача 3

Дано:

$f(x) = x^5 — 5x^3 — 20x$

Нужно найти производную $f'(x)$ и исследовать ее знаки.

Решение:

Применяем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^5$:

$$\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4.$$

• Производная от $-5x^3$:

$$\frac{d}{dx}(-5x^3) = -5 \cdot 3x^2 = -15x^2.$$

• Производная от $-20x$:

$$\frac{d}{dx}(-20x) = -20.$$

Складываем производные:

$$f'(x) = 5x^4 — 15x^2 — 20.$$

Чтобы найти, при каких значениях $x$ производная равна нулю, решаем уравнение $f'(x) = 0$:

$$5x^4 — 15x^2 — 20 = 0.$$

Разделим на 5:

$$x^4 — 3x^2 — 4 = 0.$$

Подставим $z = x^2$, тогда уравнение превращается в квадратное:

$$z^2 — 3z — 4 = 0.$$

Решаем его по формуле:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.$$

Корни:

$$z_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad z_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4.$$

Так как $z = x^2$, то:

$$x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2.$$

Исследуем знак выражения $(x — 2)(x + 2)$:

• Производная положительна, когда $x < -2$ или $x > 2$.
• Производная отрицательна, когда $-2 < x < 2$.

Ответ:

• Производная равна нулю при $x = \pm 2$.
• Производная положительна при $x < -2$ или $x > 2$.
• Производная отрицательна при $-2 < x < 2$.

Задача 4

Дано:

$f(x) = (x + 3)^3 \cdot (x — 4)^2$

Нужно найти производную $f'(x)$ и исследовать ее знаки.

Решение:

Применяем правило произведения для функций:

$$f'(x) = (x + 3)^3 \cdot (x — 4)^2 + (x + 3)^3 \cdot (x — 4)^2.$$

Применяем правило для произведения степеней:

$$f'(x) = 3(x + 3)^2 \cdot (x — 4)^2 + (x + 3)^3 \cdot 2(x — 4).$$

Упростим выражение:

$$f'(x) = (x — 4) \cdot (x + 3)^2 \cdot (3(x — 4) + 2(x + 3)).$$

Раскроем скобки:

$$f'(x) = (x — 4) \cdot (x + 3)^2 \cdot (5x — 6).$$

Для нахождения нулей производной, приравниваем $f'(x) = 0$:

$$(x — 4) \cdot (x + 3)^2 \cdot (5x — 6) = 0.$$

Получаем корни:

$$x_1 = 4, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = 1.2.$$

Исследуем знак $(x + 3)^2 \cdot (5x — 6)(x — 4)$:

• Производная положительна при $x < -3$, $-3 < x < 1.2$, или $x > 4$.
• Производная отрицательна при $1.2 < x < 4$.

Ответ:

• Производная равна нулю при $x = 4, x = -3, x = 1.2$.
• Производная положительна при $x < -3$, $-3 < x < 1.2$, или $x > 4$.
• Производная отрицательна при $1.2 < x < 4$.