ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 778 Алимов — Подробные Ответы

Найти мгновенную скорость движения точки, если:

1. s (t) = 2t + 1;
2. s (t) = 2 — 3t.

$s(t) = 2t + 1$:

$$\frac{f(t+h) — f(t)}{h} = \frac{2(t+h) + 1 — 2t — 1}{h} = \frac{2t + 2h — 2t}{h} = \frac{2h}{h} = 2;$$ $$v = \lim_{h \to 0} 2 = 2;$$

Ответ: $2$.

$s(t) = 2 — 3t$:

$$\frac{f(t+h) — f(t)}{h} = \frac{2 — 3(t+h) — (2 — 3t)}{h} = \frac{-3t — 3h + 3t}{h} = \frac{-3h}{h} = -3;$$ $$v = \lim_{h \to 0} (-3) = -3;$$

Ответ: $-3$.

Нужно найти производные для двух функций $s(t) = 2t + 1$ и $s(t) = 2 — 3t$ с использованием определения производной через предел.

Общая формула для производной:

Производная функции $f(t)$ в точке $t$ определяется как предел:

$$v = \lim_{h \to 0} \frac{f(t + h) — f(t)}{h}$$

где:

• $f(t + h)$ — это значение функции в точке $t + h$,
• $f(t)$ — это значение функции в точке $t$,
• $h$ — это малое приращение переменной $t$.

Шаг 1: Решение для функции $s(t) = 2t + 1$

Нам нужно найти производную этой функции по времени $t$, используя определение производной.

Подставляем функцию $s(t) = 2t + 1$ в формулу для производной:

$$v = \lim_{h \to 0} \frac{s(t + h) — s(t)}{h}$$

Сначала находим $s(t + h)$ и $s(t)$:

• $s(t + h) = 2(t + h) + 1 = 2t + 2h + 1$
• $s(t) = 2t + 1$

Теперь подставляем эти выражения в формулу для производной:

$$v = \lim_{h \to 0} \frac{(2t + 2h + 1) — (2t + 1)}{h}$$

Упростим числитель:

$$v = \lim_{h \to 0} \frac{2t + 2h + 1 — 2t — 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h}$$

Упростим дробь:

$$v = \lim_{h \to 0} 2$$

Поскольку $2$ — это константа, предел от $2$ при $h \to 0$ равен $2$. Следовательно, производная функции $s(t) = 2t + 1$ равна $2$.

Ответ для первой функции: $v = 2$.

Шаг 2: Решение для функции $s(t) = 2 — 3t$

Теперь найдем производную для функции $s(t) = 2 — 3t$, также используя определение производной через предел.

Подставляем функцию $s(t) = 2 — 3t$ в формулу для производной:

$$v = \lim_{h \to 0} \frac{s(t + h) — s(t)}{h}$$

Сначала находим $s(t + h)$ и $s(t)$:

• $s(t + h) = 2 — 3(t + h) = 2 — 3t — 3h$
• $s(t) = 2 — 3t$

Теперь подставляем эти выражения в формулу для производной:

$$v = \lim_{h \to 0} \frac{(2 — 3t — 3h) — (2 — 3t)}{h}$$

Упростим числитель:

$$v = \lim_{h \to 0} \frac{2 — 3t — 3h — 2 + 3t}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-3h}{h}$$

Упростим дробь:

$$v = \lim_{h \to 0} -3$$

Поскольку $-3$ — это константа, предел от $-3$ при $h \to 0$ равен $-3$. Следовательно, производная функции $s(t) = 2 — 3t$ равна $-3$.

Ответ для второй функции: $v = -3$.

Итоговое решение:

• Для функции $s(t) = 2t + 1$:

$$v = 2$$

• Для функции $s(t) = 2 — 3t$:

$$v = -3$$

Пояснение к результатам:

• Для первой функции $s(t) = 2t + 1$, производная равна $2$. Это означает, что точка движется с постоянной скоростью $2$ единицы пути в секунду.
• Для второй функции $s(t) = 2 — 3t$, производная равна $-3$. Это значит, что точка движется с постоянной скоростью $-3$ единицы пути в секунду (в направлении, противоположном положительному направлению оси $t$).