ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 509 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить sin 2а, если:

1. sina+coa=1/2;
2. sina-cosa=-1/3.

$\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$;

$$(\sin a + \cos a)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2;$$ $$\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{4};$$ $$1 + \sin 2a = \frac{1}{4};$$ $$\sin 2a = \frac{1}{4} — 1 = \frac{1}{4} — \frac{4}{4} = -\frac{3}{4};$$

Ответ: $-\frac{3}{4}$;

$\sin a — \cos a = -\frac{1}{3}$;

$$(\sin a — \cos a)^2 = \left( -\frac{1}{3} \right)^2;$$ $$\sin^2 a + \cos^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{9};$$ $$1 — \sin 2a = \frac{1}{9};$$ $$\sin 2a = 1 — \frac{1}{9} = \frac{9}{9} — \frac{1}{9} = \frac{8}{9};$$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

1) Дано:

$$\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$$

Найти: $\sin 2a$.

Решение:

1. Чтобы найти $\sin 2a$, воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

2. Для этого сначала выразим произведение $\sin a \cdot \cos a$. Начнём с квадрата суммы $\sin a + \cos a$:

$$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

3. Подставим в это выражение значение $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

4. Возведём $\frac{1}{2}$ в квадрат:

$$\frac{1}{4} = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

5. Известно тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

6. Подставим это в уравнение:

$$\frac{1}{4} = 1 + 2 \sin a \cos a$$

7. Выразим $2 \sin a \cos a$:

$$2 \sin a \cos a = \frac{1}{4} — 1 = \frac{1}{4} — \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$$

8. По формуле двойного угла для синуса:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a = -\frac{3}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{3}{4}}$$

2) Дано:

$$\sin a — \cos a = -\frac{1}{3}$$

Найти: $\sin 2a$.

Решение:

1. Вновь воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

2. Сначала найдём произведение $\sin a \cdot \cos a$, рассматривая квадрат разности $\sin a — \cos a$:

$$(\sin a — \cos a)^2 = \sin^2 a — 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

3. Подставим известное значение $\sin a — \cos a = -\frac{1}{3}$:

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \sin^2 a — 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

4. Возведём $-\frac{1}{3}$ в квадрат:

$$\frac{1}{9} = \sin^2 a — 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

5. Используем тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

6. Подставим это в уравнение:

$$\frac{1}{9} = 1 — 2 \sin a \cos a$$

7. Выразим $2 \sin a \cos a$:

$$2 \sin a \cos a = 1 — \frac{1}{9} = \frac{9}{9} — \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

8. По формуле двойного угла:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a = \frac{8}{9}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{8}{9}}$$