ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1269 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить cos 2а, если sin а =1/3.

Вычислить $\cos 2a$, если $\sin a = \frac{1}{3}$;

$$\sin^2 a = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9};$$ $$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a = \frac{9}{9} — \frac{1}{9} = \frac{8}{9};$$ $$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a = \frac{8}{9} — \frac{1}{9} = \frac{7}{9};$$

Ответ: $\frac{7}{9}$.

Дано:

• $\sin a = \frac{1}{3}$.

Необходимо вычислить $\cos 2a$, используя известные тригонометрические формулы.

Шаг 1: Используем тождество для $\cos 2a$

Одним из способов вычисления $\cos 2a$ является использование следующего тригонометрического тождества для удвоенного угла:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a.$$

Это тождество позволяет выразить $\cos 2a$ через значения $\cos a$ и $\sin a$, что делает задачу решаемой, если мы знаем одно из этих значений.

Шаг 2: Найдем $\cos^2 a$

У нас уже есть значение $\sin a = \frac{1}{3}$. Для того чтобы использовать тождество для $\cos 2a$, нам нужно найти значение $\cos^2 a$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1.$$

Подставим известное значение $\sin a = \frac{1}{3}$:

$$\sin^2 a = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}.$$

Теперь можем найти $\cos^2 a$, подставив значение $\sin^2 a$ в тождество:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a = 1 — \frac{1}{9} = \frac{9}{9} — \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.$$

Итак, мы нашли:

$$\cos^2 a = \frac{8}{9}.$$

Шаг 3: Вычислим $\cos 2a$

Теперь, когда мы знаем значения $\cos^2 a$ и $\sin^2 a$, можем вычислить $\cos 2a$, подставив их в тождество для $\cos 2a$:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a = \frac{8}{9} — \frac{1}{9} = \frac{7}{9}.$$

Ответ:

Таким образом, значение $\cos 2a$ равно $\frac{7}{9}$.

Итоговое объяснение:

1. Использовали тождество для удвоенного угла $\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$.
2. Найдена величина $\cos^2 a$ с использованием основного тригонометрического тождества $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$.
3. Подставили значения в тождество для $\cos 2a$ и получили результат $\frac{7}{9}$.