ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 621 Алимов — Подробные Ответы

1. 2 cos2 x — sin x + 1 = 0;
2. 3 cos2 x — sin x — 1 = 0;
3. 4 sin2 x — cos x — 1 = 0;
4. 2 sin2 x + 3 cos x = 0.

1) $2 \cos^2 x — \sin x + 1 = 0$;

$2(1 — \sin^2 x) — \sin x + 1 = 0$;

$2 — 2 \sin^2 x — \sin x + 1 = 0$;

$2 \sin^2 x + \sin x — 3 = 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$2y^2 + y — 3 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{2}$ и $y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = 1$;

Первое уравнение:

$\sin x = -\frac{3}{2}$ — корней нет;

Второе уравнение:

$\sin x = 1$;

$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

2) $3 \cos^2 x — \sin x — 1 = 0$;

$3(1 — \sin^2 x) — \sin x — 1 = 0$;

$3 — 3 \sin^2 x — \sin x — 1 = 0$;

$3 \sin^2 x + \sin x — 2 = 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$3y^2 + y — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = -1$ и $y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}$;

Первое уравнение:

$\sin x = -1$;

$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Второе уравнение:

$\sin x = \frac{2}{3}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $(-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$.

3) $4 \sin^2 x — \cos x — 1 = 0$;

$4(1 — \cos^2 x) — \cos x — 1 = 0$;

$4 — 4 \cos^2 x — \cos x — 1 = 0$;

$4 \cos^2 x + \cos x — 3 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$4y^2 + y — 3 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 48 = 49$, тогда:

$y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 4} = -1$ и $y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4}$;

Первое уравнение:

$\cos x = -1$;

$x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;

Второе уравнение:

$\cos x = \frac{3}{4}$;

$x = \pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi n$;

Ответ: $\pi + 2\pi n$; $\pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi n$.

4) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$;

$2(1 — \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$;

$2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$;

$2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$2y^2 — 3y — 2 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = 2$;

Первое уравнение:

$\cos x = -\frac{1}{2}$;

$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;

Второе уравнение:

$\cos x = 2$ — корней нет;

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

1) $2 \cos^2 x — \sin x + 1 = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$.

Подставим $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ в исходное уравнение:

$$2(1 — \sin^2 x) — \sin x + 1 = 0$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$2 — 2 \sin^2 x — \sin x + 1 = 0$$

Шаг 3: Приведем подобные члены:

$$3 — 2 \sin^2 x — \sin x = 0$$

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$$2 \sin^2 x + \sin x — 3 = 0$$

Шаг 4: Пусть $y = \sin x$, тогда уравнение становится:

$$2y^2 + y — 3 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 2$, $b = 1$, $c = -3$.

Находим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

Шаг 6: Подставляем дискриминант в формулу:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Шаг 7: Теперь анализируем полученные корни.

$y_1 = -\frac{3}{2}$ — это значение не подходит, так как $\sin x$ может принимать значения только в пределах от $-1$ до $1$. Следовательно, для $y_1$ корней нет.

$y_2 = 1$ — это значение подходит. Тогда:

$$\sin x = 1$$

Решаем уравнение $\sin x = 1$. Известно, что $\sin x = 1$ при:

$$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, так как синус имеет период $2\pi$.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

2) $3 \cos^2 x — \sin x — 1 = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$.

Подставим $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ в исходное уравнение:

$$3(1 — \sin^2 x) — \sin x — 1 = 0$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$3 — 3 \sin^2 x — \sin x — 1 = 0$$

Шаг 3: Приведем подобные члены:

$$2 — 3 \sin^2 x — \sin x = 0$$

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$$3 \sin^2 x + \sin x — 2 = 0$$

Шаг 4: Пусть $y = \sin x$, тогда уравнение становится:

$$3y^2 + y — 2 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 3$, $b = 1$, $c = -2$.

Находим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$$

Шаг 6: Подставляем дискриминант в формулу:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Шаг 7: Теперь анализируем полученные корни.

$y_1 = -1$ — это значение подходит, так как $\sin x = -1$ имеет решение:

$$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

$y_2 = \frac{2}{3}$ — это значение также подходит. Тогда:

$$\sin x = \frac{2}{3}$$

Решаем уравнение $\sin x = \frac{2}{3}$. Так как синус положителен, решения будут на двух разных ветвях:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$$

где $n$ — целое число, так как синус имеет период $2\pi$.

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \, (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$$

3) $4 \sin^2 x — \cos x — 1 = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя тождество $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$.

Подставим $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$ в исходное уравнение:

$$4(1 — \cos^2 x) — \cos x — 1 = 0$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$4 — 4 \cos^2 x — \cos x — 1 = 0$$

Шаг 3: Приведем подобные члены:

$$3 — 4 \cos^2 x — \cos x = 0$$

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$$4 \cos^2 x + \cos x — 3 = 0$$

Шаг 4: Пусть $y = \cos x$, тогда уравнение становится:

$$4y^2 + y — 3 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 4$, $b = 1$, $c = -3$.

Находим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$$

Шаг 6: Подставляем дискриминант в формулу:

$$y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Шаг 7: Теперь анализируем полученные корни.

$y_1 = -1$ — это значение подходит. Тогда:

$$\cos x = -1$$

Решаем уравнение $\cos x = -1$. Известно, что $\cos x = -1$ при:

$$x = \pi + 2\pi n$$

где $n$ — целое число

$y_2 = \frac{3}{4}$ — это значение также подходит. Тогда:

$$\cos x = \frac{3}{4}$$

Решаем уравнение $\cos x = \frac{3}{4}$. Тогда:

$$x = \pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, так как косинус имеет период $2\pi$.

Ответ:

$$x = \pi + 2\pi n; \, \pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi n$$

4) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя тождество $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$.

Подставим $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$ в исходное уравнение:

$$2(1 — \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$$

Шаг 3: Приведем подобные члены:

$$2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$$

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$$2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2 = 0$$

Шаг 4: Пусть $y = \cos x$, тогда уравнение становится:

$$2y^2 — 3y — 2 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$.

Находим дискриминант $D$:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Шаг 6: Подставляем дискриминант в формулу:

$$y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Шаг 7: Теперь анализируем полученные корни.

$y_1 = -\frac{1}{2}$ — это значение подходит. Тогда:

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Решаем уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$. Известно, что $\cos x = -\frac{1}{2}$ при:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

$y_2 = 2$ — это значение не подходит, так как $\cos x$ не может быть больше 1.

Ответ:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$