ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1222 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить дисперсии выборок:

1. 2, 3, 5, 3, 7 и 4, 7, 5, 6;
2. -1, 3, 4 и -2, 0, 2, 4, 5.

1) $2, 3, 5, 3, 7$ и $4, 7, 5, 6$;

Первая выборка:

$$\overline{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 3 + 7}{5} = \frac{20}{5} = 4;$$ $$D = \frac{(4 — 2)^2 + (4 — 3)^2 + (5 — 4)^2 + (4 — 3)^2 + (7 — 4)^2}{5};$$ $$D = \frac{2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 3^2}{5} = \frac{4 + 1 + 1 + 1 + 9}{5} = \frac{16}{5} = 3,2;$$

Вторая выборка:

$$\overline{X} = \frac{4 + 7 + 5 + 6}{4} = \frac{22}{4} = 5,5;$$ $$D = \frac{(5,5 — 4)^2 + (7 — 5,5)^2 + (5,5 — 5)^2 + (6 — 5,5)^2}{4};$$ $$D = \frac{1,5^2 + 1,5^2 + 0,5^2 + 0,5^2}{4} = \frac{2,25 + 2,25 + 0,25 + 0,25}{4} = \frac{5}{4} = 1,25;$$

Ответ: дисперсия первой выборки больше.

2) $-1, 3, 4$ и $-2, 0, 2, 4, 5$;

Первая выборка:

$$\overline{X} = \frac{-1 + 3 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2;$$ $$D = \frac{(2 + 1)^2 + (3 — 2)^2 + (4 — 2)^2}{3} = \frac{3^2 + 1^2 + 2^2}{3} = \frac{9 + 1 + 4}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3};$$

Вторая выборка:

$$\overline{X} = \frac{-2 + 0 + 2 + 4 + 5}{5} = \frac{9}{5} = 1,8;$$ $$D = \frac{(1,8 + 2)^2 + (1,8 — 0)^2 + (2 — 1,8)^2 + (4 — 1,8)^2 + (5 — 1,8)^2}{5};$$ $$D = \frac{3,8^2 + 1,8^2 + 0,2^2 + 2,2^2 + 3,2^2}{5};$$ $$D = \frac{14,44 + 3,24 + 0,04 + 4,84 + 10,24}{5} = \frac{32,8}{5} = 6,56;$$

Ответ: дисперсия второй выборки больше.

Задача 1

У нас есть две выборки данных:

Первая выборка: $2, 3, 5, 3, 7$

Вторая выборка: $4, 7, 5, 6$

Необходимо найти среднее значение (математическое ожидание), дисперсию и определить, какая из выборок имеет большую дисперсию.

1.1. Первая выборка

1.1.1. Нахождение среднего значения $\overline{X}$

Среднее значение (математическое ожидание) для дискретной выборки рассчитывается по формуле:

$$\overline{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

где $x_i$ — это отдельные значения из выборки, а $n$ — количество элементов в выборке.

Для первой выборки:

$$\overline{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 3 + 7}{5} = \frac{20}{5} = 4$$

Ответ: Среднее значение $\overline{X} = 4$.

1.1.2. Нахождение дисперсии $D$

Дисперсия для выборки вычисляется по следующей формуле:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i — \overline{X})^2$$

где $x_i$ — это отдельные значения из выборки, $\overline{X}$ — среднее значение выборки, а $n$ — количество элементов в выборке.

Подставляем в формулу:

$$D = \frac{1}{5} \left[ (2 — 4)^2 + (3 — 4)^2 + (5 — 4)^2 + (3 — 4)^2 + (7 — 4)^2 \right]$$

Вычислим каждое из выражений внутри суммы:

$$(2 — 4)^2 = (-2)^2 = 4$$ $$(3 — 4)^2 = (-1)^2 = 1$$ $$(5 — 4)^2 = (1)^2 = 1$$ $$(3 — 4)^2 = (-1)^2 = 1$$ $$(7 — 4)^2 = (3)^2 = 9$$

Теперь складываем все эти значения:

$$4 + 1 + 1 + 1 + 9 = 16$$

Подставляем в формулу для дисперсии:

$$D = \frac{16}{5} = 3,2$$

Ответ: Дисперсия первой выборки $D = 3,2$.

1.2. Вторая выборка

1.2.1. Нахождение среднего значения $\overline{X}$

Для второй выборки:

$$\overline{X} = \frac{4 + 7 + 5 + 6}{4} = \frac{22}{4} = 5,5$$

Ответ: Среднее значение $\overline{X} = 5,5$.

1.2.2. Нахождение дисперсии $D$

Используем ту же формулу для дисперсии:

$$D = \frac{1}{4} \left[ (4 — 5,5)^2 + (7 — 5,5)^2 + (5 — 5,5)^2 + (6 — 5,5)^2 \right]$$

Вычислим каждое из выражений внутри суммы:

$$(4 — 5,5)^2 = (-1,5)^2 = 2,25$$ $$(7 — 5,5)^2 = (1,5)^2 = 2,25$$ $$(5 — 5,5)^2 = (-0,5)^2 = 0,25$$ $$(6 — 5,5)^2 = (0,5)^2 = 0,25$$

Теперь складываем все эти значения:

$$2,25 + 2,25 + 0,25 + 0,25 = 5$$

Подставляем в формулу для дисперсии:

$$D = \frac{5}{4} = 1,25$$

Ответ: Дисперсия второй выборки $D = 1,25$.

1.3. Сравнение дисперсий

Теперь сравним дисперсии двух выборок. Для первой выборки дисперсия равна $3,2$, а для второй выборки — $1,25$.

Ответ: Дисперсия первой выборки больше.

Задача 2

У нас есть две выборки данных:

Первая выборка: $-1, 3, 4$

Вторая выборка: $-2, 0, 2, 4, 5$

Необходимо найти среднее значение, дисперсию и определить, какая из выборок имеет большую дисперсию.

2.1. Первая выборка

2.1.1. Нахождение среднего значения $\overline{X}$

Для первой выборки:

$$\overline{X} = \frac{-1 + 3 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

Ответ: Среднее значение $\overline{X} = 2$.

2.1.2. Нахождение дисперсии $D$

Для дисперсии используем формулу:

$$D = \frac{1}{3} \left[ (-1 — 2)^2 + (3 — 2)^2 + (4 — 2)^2 \right]$$

Вычислим каждое из выражений внутри суммы:

$$(-1 — 2)^2 = (-3)^2 = 9$$ $$(3 — 2)^2 = (1)^2 = 1$$ $$(4 — 2)^2 = (2)^2 = 4$$

Теперь складываем все эти значения:

$$9 + 1 + 4 = 14$$

Подставляем в формулу для дисперсии:

$$D = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,67$$

Ответ: Дисперсия первой выборки $D \approx 4,67$.

2.2. Вторая выборка

2.2.1. Нахождение среднего значения $\overline{X}$

Для второй выборки:

$$\overline{X} = \frac{-2 + 0 + 2 + 4 + 5}{5} = \frac{9}{5} = 1,8$$

Ответ: Среднее значение $\overline{X} = 1,8$.

2.2.2. Нахождение дисперсии $D$

Для дисперсии используем формулу:

$$D = \frac{1}{5} \left[ (-2 — 1,8)^2 + (0 — 1,8)^2 + (2 — 1,8)^2 + (4 — 1,8)^2 + (5 — 1,8)^2 \right]$$

Вычислим каждое из выражений внутри суммы:

$$(-2 — 1,8)^2 = (-3,8)^2 = 14,44$$ $$(0 — 1,8)^2 = (-1,8)^2 = 3,24$$ $$(2 — 1,8)^2 = (0,2)^2 = 0,04$$ $$(4 — 1,8)^2 = (2,2)^2 = 4,84$$ $$(5 — 1,8)^2 = (3,2)^2 = 10,24$$

Теперь складываем все эти значения:

$$14,44 + 3,24 + 0,04 + 4,84 + 10,24 = 32,8$$

Подставляем в формулу для дисперсии:

$$D = \frac{32,8}{5} = 6,56$$

Ответ: Дисперсия второй выборки $D = 6,56$.

2.3. Сравнение дисперсий

Теперь сравним дисперсии двух выборок. Для первой выборки дисперсия равна $4,67$, а для второй выборки — $6,56$

Ответ: Дисперсия второй выборки больше.

Итоговый ответ:

Дисперсия первой выборки больше.

Дисперсия второй выборки больше.