ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1605 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения a, при которых уравнение sin8x+cos8x=a имеет корни, и решить это уравнение.

Найти все корни уравнения:

$$\sin^8 x + \cos^8 x = a;$$ $$\sin^8 x + \cos^8 x — 2 \sin^4 x \cdot \cos^4 x + 2 \sin^4 x \cdot \cos^4 x = a;$$ $$(\sin^4 x — \cos^4 x)^2 + 2 \sin^4 x \cdot \cos^4 x = a;$$ $$(\cos^2 x — \cos^2 x)^2 \cdot (\cos^2 x + \cos^2 x)^2 + \frac{1}{8} \cdot 16 \sin^4 x \cdot \cos^4 x = a;$$ $$\cos^2 2x \cdot 1^2 + \frac{1}{8} \sin^4 2x = a;$$ $$1 — \sin^2 2x + \frac{1}{8} \sin^4 2x = a;$$ $$\sin^4 2x — 8 \sin^2 2x + (8 — 8a) = 0;$$

Решение:

Найдем дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot (8 — 8a) = 64 — 32 + 32a = 32 + 32a = 16(2 + 2a);$$

Уравнение имеет хотя бы одно решение при $D \geq 0$:

$$2 + 2a \geq 0;$$ $$1 + a \geq 0, \text{ отсюда } a \geq -1;$$

Корни квадратного уравнения:

$$\sin^2 2x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2 + 2a}}{2} = 4 \pm 2 \sqrt{2 + 2a};$$

Уравнение имеет решения при:

$$-1 \leq \sin 2x \leq 1;$$ $$0 \leq \sin^2 2x \leq 1;$$

Первое значение:

$$0 \leq 4 + 2 \sqrt{2 + 2a} \leq 1; \quad \text{нет решений};$$

Второе значение:

$$0 \leq 4 — 2 \sqrt{2 + 2a} \leq 1;$$ $$-4 \leq -2 \sqrt{2 + 2a} \leq -3;$$ $$3 \leq 2 \sqrt{2 + 2a} \leq 4;$$ $$\frac{3}{2} \leq \sqrt{2 + 2a} \leq 2;$$ $$\frac{9}{4} \leq 2 + 2a \leq 4;$$ $$\frac{1}{4} \leq 2a \leq 2;$$ $$\frac{1}{8} \leq a \leq 1;$$

Решения уравнения:

$$\sin^2 2x = 4 — \sqrt{2 + 2a};$$ $$\sin 2x = \pm \sqrt{4 — \sqrt{2 + 2a}};$$ $$2x = \pm \arcsin \sqrt{4 — \sqrt{2 + 2a}} + \pi n;$$ $$x = \pm \frac{1}{2} \arcsin \sqrt{4 — \sqrt{2 + 2a}} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: если $\frac{1}{8} \leq a \leq 1$, то

$$x = \pm \frac{1}{2} \arcsin \sqrt{4 — \sqrt{2(1 + a)}} + \frac{\pi n}{2}.$$

Уравнение, которое нужно решить, представляет собой последовательность преобразований тригонометрических выражений:

$$\sin^8 x + \cos^8 x = a.$$

Шаг 1: Преобразование исходного уравнения

Для упрощения задачи, начнем с того, что у нас есть выражение $\sin^8 x + \cos^8 x$. Рассмотрим его поэтапно:

1. Первоначальное уравнение:

   $$\sin^8 x + \cos^8 x = a$$

   Преобразуем его, используя формулы для степеней:

   $$\sin^8 x + \cos^8 x = (\sin^4 x + \cos^4 x)^2 — 2 \sin^4 x \cos^4 x.$$

   Это шаг помогает разбить исходное выражение на более простые элементы.

2. Далее, выражение $\sin^4 x + \cos^4 x$ также можно упростить:

   $$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cos^2 x.$$

   Но так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, то:

   $$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 — 2 \sin^2 x \cos^2 x.$$

3. Подставляем это в исходное уравнение:

   $$(\sin^4 x + \cos^4 x)^2 — 2 \sin^4 x \cos^4 x = a$$

   Подставляем полученное выражение для $\sin^4 x + \cos^4 x$:

   $$(1 — 2 \sin^2 x \cos^2 x)^2 — 2 \sin^4 x \cos^4 x = a.$$

   Раскрывая скобки, получаем:

   $$(1 — 4 \sin^2 x \cos^2 x + 4 \sin^4 x \cos^4 x) — 2 \sin^4 x \cos^4 x = a.$$

   Упрощаем:

   $$1 — 4 \sin^2 x \cos^2 x + 2 \sin^4 x \cos^4 x = a.$$

   Таким образом, мы получаем выражение для $\sin^8 x + \cos^8 x$.

Шаг 2: Преобразование в квадратное уравнение

Теперь перейдем к более удобному виду. После ряда преобразований, мы получаем следующее уравнение:

$$\sin^4 2x — 8 \sin^2 2x + (8 — 8a) = 0.$$

Это уравнение уже является квадратным относительно $\sin^2 2x$.

Шаг 3: Дискриминант и его условия

Для решения квадратного уравнения находим дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (8 — 8a) = 64 — 32 + 32a = 32 + 32a.$$

Уравнение будет иметь хотя бы одно решение при $D \geq 0$. Это означает:

$$32 + 32a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq -1.$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь, для решения квадратного уравнения, мы используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$\sin^2 2x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{32 + 32a}}{2} = 4 \pm 2 \sqrt{2(1 + a)}.$$

Таким образом, возможные значения для $\sin^2 2x$ следующие:

$$\sin^2 2x = 4 \pm 2 \sqrt{2(1 + a)}.$$

Чтобы эти значения были допустимыми для функции синуса, они должны лежать в пределах от 0 до 1:

$$0 \leq \sin^2 2x \leq 1.$$

Шаг 5: Ограничения для $a$

Рассмотрим два случая:

1. Для первого значения $\sin^2 2x = 4 + 2 \sqrt{2(1 + a)}$, необходимо:

   $$4 + 2 \sqrt{2(1 + a)} \leq 1,$$

   что приводит к невозможности решения, поскольку результат будет всегда больше 1.

2. Для второго значения $\sin^2 2x = 4 — 2 \sqrt{2(1 + a)}$ имеем:

   $$0 \leq 4 — 2 \sqrt{2(1 + a)} \leq 1.$$

   Для этого неравенства получаем ограничения на $a$:

   $$3 \leq 2 \sqrt{2(1 + a)} \leq 4,$$ $$\frac{3}{2} \leq \sqrt{2(1 + a)} \leq 2,$$ $$\frac{9}{4} \leq 2(1 + a) \leq 4,$$ $$\frac{1}{4} \leq 1 + a \leq 2,$$ $$\frac{1}{8} \leq a \leq 1.$$

Таким образом, для $a$ из интервала $[ \frac{1}{8}, 1 ]$, уравнение имеет решение.

Шаг 6: Находим корни уравнения

Теперь, зная, что $\sin^2 2x = 4 — 2 \sqrt{2(1 + a)}$, получаем:

$$\sin 2x = \pm \sqrt{4 — 2 \sqrt{2(1 + a)}}.$$

Из этого уравнения можно выразить $x$:

$$2x = \pm \arcsin \sqrt{4 — 2 \sqrt{2(1 + a)}} + \pi n.$$

Делим обе стороны на 2:

$$x = \pm \frac{1}{2} \arcsin \sqrt{4 — 2 \sqrt{2(1 + a)}} + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

Для значений $\frac{1}{8} \leq a \leq 1$, корни уравнения имеют вид:

$$x = \pm \frac{1}{2} \arcsin \sqrt{4 — 2 \sqrt{2(1 + a)}} + \frac{\pi n}{2}.$$