ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 775 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1. sin х > = cos х;
2. tg х > sin х.

Задача 1:

$\sin x \geq \cos x$;

$\sin x — \cos x \geq 0$;

$\sqrt{2} \cdot \left( \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} — \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \geq 0$;

$\sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4} \geq 0$;

$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \geq 0$;

$\arcsin 0 + 2\pi n \leq x — \frac{\pi}{4} \leq \pi — \arcsin 0 + 2\pi n$;

$2\pi n \leq x — \frac{\pi}{4} \leq \pi + 2\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

Задача 2:

$\operatorname{tg} x > \sin x$;

$\operatorname{tg} x — \sin x > 0$;

$\frac{\sin x}{\cos x} — \sin x > 0$;

$\frac{\sin x — \sin x \cdot \cos x}{\cos x} > 0$;

$\sin x \cdot (1 — \cos x) > 0$;

$\operatorname{tg} x \cdot (1 — \cos x) > 0$;

Первое неравенство:

$1 — \cos x > 0$;

$-\cos x > -1$;

$\cos x < 1$;

$\cos x \neq 0$;

$x \neq \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе неравенство:

$\operatorname{tg} x > 0$;

$\arctg 0 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Задача 1:

$\sin x \geq \cos x$

Это неравенство можно преобразовать следующим образом:

$$\sin x — \cos x \geq 0$$

Далее представим выражение через разность синуса и косинуса:

$$\sin x — \cos x = \sqrt{2} \cdot \left( \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} — \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

Здесь мы используем формулу для преобразования линейной комбинации синуса и косинуса в синус угла. Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}}$ — это коэффициент для синуса и косинуса угла $\frac{\pi}{4}$, то есть:

$$\sin x — \cos x = \sqrt{2} \cdot \left( \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Используя формулу синуса разности:

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$$

Теперь неравенство $\sin x — \cos x \geq 0$ сводится к:

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \geq 0$$

Это означает, что выражение $x — \frac{\pi}{4}$ должно быть в пределах, где синус положителен, то есть:

$$\arcsin 0 + 2\pi n \leq x — \frac{\pi}{4} \leq \pi — \arcsin 0 + 2\pi n$$

Поскольку $\arcsin 0 = 0$, мы получаем:

$$0 + 2\pi n \leq x — \frac{\pi}{4} \leq \pi + 2\pi n$$

Решая это неравенство для $x$, получаем:

$$2\pi n \leq x — \frac{\pi}{4} \leq \pi + 2\pi n$$

Прибавляем $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям неравенства:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

Таким образом, окончательный ответ:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

Задача 2:

$\operatorname{tg} x > \sin x$

Запишем это неравенство как:

$$\operatorname{tg} x — \sin x > 0$$

Теперь выразим тангенс через синус и косинус:

$$\frac{\sin x}{\cos x} — \sin x > 0$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\sin x — \sin x \cdot \cos x}{\cos x} > 0$$

Выносим $\sin x$ за скобки:

$$\frac{\sin x \cdot (1 — \cos x)}{\cos x} > 0$$

Теперь неравенство имеет вид:

$$\sin x \cdot (1 — \cos x) > 0$$

Это неравенство будет выполняться, когда произведение двух факторов $\sin x$ и $(1 — \cos x)$ будет положительным.

• $\sin x > 0$, когда $x$ находится в промежутке $(0, \pi)$, и
• $1 — \cos x > 0$, когда $\cos x < 1$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Таким образом, условие $\sin x \cdot (1 — \cos x) > 0$ выполняется, когда $\operatorname{tg} x > 0$, что эквивалентно:

$$\arctg 0 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ:

$$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

$$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$