ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 549 Алимов — Подробные Ответы

1. cos 23пи/4 — sin 15пи/4;
2. sin 25пи/3 — tg 10пи/3;
3. 3 cos 3660° + sin (-1560°);
4. cos (-945°) + tg 1035°.

1.

$$\cos \frac{23\pi }{4}-\sin \frac{15\pi }{4}=\cos (6\pi -\frac{\pi }{4})-\sin (4\pi -\frac{\pi }{4})=\cos (-\frac{\pi }{4})-\sin (-\frac{\pi }{4})=$$$$=\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2};$$

2.

$$\sin \frac{25\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{10\pi }{3}=\sin (8\pi +\frac{\pi }{3})-\mathrm{tg}(3\pi +\frac{\pi }{3})=\sin \frac{\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=$$$$=\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2};$$

3.

$$3\cos {3660}^{\circ }+\sin (-{1560}^{\circ })=$$$$=3\cos (10\cdot {360}^{\circ }+{60}^{\circ })+\sin (-5\cdot {360}^{\circ }+{240}^{\circ })=3\cos {60}^{\circ }+\sin {240}^{\circ }=$$$$=3\cdot \frac{1}{2}+\sin ({180}^{\circ }+{60}^{\circ })=\frac{3}{2}-\sin {60}^{\circ }=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2};$$

4.

$$\cos (-{945}^{\circ })+\mathrm{tg}{1035}^{\circ }=$$$$=\cos (-3\cdot {360}^{\circ }+{135}^{\circ })+\mathrm{tg}(5\cdot {180}^{\circ }+{135}^{\circ })=\cos {135}^{\circ }+\mathrm{tg}{135}^{\circ }=$$$$=\cos ({90}^{\circ }+{45}^{\circ })+\mathrm{tg}({90}^{\circ }+{45}^{\circ })=-\sin {45}^{\circ }-\mathrm{ctg}{45}^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1=$$$$=-\frac{\sqrt{2}+2}{2}$$

1) Вычислить:

$$\cos \frac{23\pi }{4}-\sin \frac{15\pi }{4}$$

Шаг 1. Приведём углы к основному интервалу $[0,2\pi )$, используя периодичность функций:

• Период косинуса и синуса: $2\pi$.

Шаг 2. Для косинуса:

$$\frac{23\pi }{4}=5\times 2\pi +\frac{3\pi }{4}\text{(поскольку }5\times 2\pi =5\times \frac{8\pi }{4}=\frac{40\pi }{4}\text{, }$$

$$\text{но }23<40\text{, лучше найти через целые }2\pi )$$

Лучше вычесть $6\times 2\pi$ (то есть $12\pi$ или $24\pi \mathrm{/}2$):

$$6\times 2\pi =12\pi =\frac{48\pi }{4}$$

Так как $\frac{23\pi }{4}<\frac{48\pi }{4}$, попробуем:

$$\frac{23\pi }{4}=6\times \frac{2\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=6\pi -\frac{\pi }{4}$$

(Именно так записано в решении.)

Шаг 3. Для синуса:

$$\frac{15\pi }{4}=4\pi -\frac{\pi }{4}$$

(так как $4\pi =\frac{16\pi }{4}$, а $15\pi \mathrm{/}4=16\pi \mathrm{/}4-\pi \mathrm{/}4$.)

Шаг 4. Используем периодичность:

$$\cos (6\pi -\frac{\pi }{4})=\cos (-\frac{\pi }{4})$$$$\sin (4\pi -\frac{\pi }{4})=\sin (-\frac{\pi }{4})$$

Шаг 5. Свойства чётности:

• Косинус — чётная функция: $\cos (-x)=\cos x$.
• Синус — нечётная функция: $\sin (-x)=-\sin x$.

Шаг 6. Применяем:

$$\cos (-\frac{\pi }{4})=\cos \frac{\pi }{4}$$$$\sin (-\frac{\pi }{4})=-\sin \frac{\pi }{4}$$

Шаг 7. Подставляем:

$$\cos \frac{\pi }{4}-(-\sin \frac{\pi }{4})=\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{4}$$

Шаг 8. Значения:

$$\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 9. Суммируем:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \sqrt{2}}}$$

2) Вычислить:

$$\sin \frac{25\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{10\pi }{3}$$

Шаг 1. Приводим углы к основному периоду:

• Период синуса: $2\pi$.
• Период тангенса: $\pi$.

Шаг 2. Для синуса:

$$\frac{25\pi }{3}=8\pi +\frac{\pi }{3}$$

(потому что $8\pi =\frac{24\pi }{3}$, а $\frac{25\pi }{3}=\frac{24\pi }{3}+\frac{\pi }{3}$.)

Шаг 3. Для тангенса:

$$\frac{10\pi }{3}=3\pi +\frac{\pi }{3}$$

Шаг 4. Используем периодичность:

$$\sin \frac{25\pi }{3}=\sin (8\pi +\frac{\pi }{3})=\sin \frac{\pi }{3}$$$$\mathrm{tg}\frac{10\pi }{3}=\mathrm{tg}(3\pi +\frac{\pi }{3})=\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$$

Шаг 5. Значения:

$$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$$

Шаг 6. Вычитаем:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}}}$$

3) Вычислить:

$$3\cos {3660}^{\circ }+\sin (-{1560}^{\circ })$$

Шаг 1. Приводим углы к интервалу $0^{\circ }\le \theta <{360}^{\circ }$:

$${3660}^{\circ }=10\times {360}^{\circ }+{60}^{\circ }$$$$-{1560}^{\circ }=-5\times {360}^{\circ }+{240}^{\circ }$$

Шаг 2. Используем периодичность косинуса и синуса:

$$\cos {3660}^{\circ }=\cos {60}^{\circ }$$$$\sin (-{1560}^{\circ })=\sin {240}^{\circ }$$

Шаг 3. Значения:

$$\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$$$$\sin {240}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }+{60}^{\circ })=-\sin {60}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4. Подставляем и вычисляем:

$$3\cdot \frac{1}{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{2}}}$$

4) Вычислить:

$$\cos (-{945}^{\circ })+\mathrm{tg}{1035}^{\circ }$$

Шаг 1. Приводим углы к основному интервалу $0^{\circ }\le \theta <{360}^{\circ }$:

$$-{945}^{\circ }=-3\times {360}^{\circ }+{135}^{\circ }=-{1080}^{\circ }+{135}^{\circ }$$$${1035}^{\circ }=2\times {360}^{\circ }+{315}^{\circ }={720}^{\circ }+{315}^{\circ }$$

Шаг 2. Используем периодичность:

$$\cos (-{945}^{\circ })=\cos {135}^{\circ }$$$$\mathrm{tg}{1035}^{\circ }=\mathrm{tg}{315}^{\circ }$$

Шаг 3. Раскроем углы:

$$\cos {135}^{\circ }=\cos ({90}^{\circ }+{45}^{\circ })=-\sin {45}^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4. Тангенс 315°:

$$\mathrm{tg}{315}^{\circ }=\tan ({360}^{\circ }-{45}^{\circ })=-\tan {45}^{\circ }=-1$$

Шаг 5. Сложим:

$$-\frac{\sqrt{2}}{2}+(-1)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1=-\frac{\sqrt{2}+2}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{\sqrt{2}+2}{2}}}$$