ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 556 Алимов — Подробные Ответы

Показать, что:

1. sin 35° + sin 25° = cos 5°;
2. cos 12° — cos 48° = sin 18°.

1.

$$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ;$$ $$2 \cdot \sin \frac{35^\circ + 25^\circ}{2} \cdot \cos \frac{35^\circ — 25^\circ}{2} = \cos 5^\circ;$$ $$2 \cdot \sin \frac{60^\circ}{2} \cdot \cos \frac{10^\circ}{2} = \cos 5^\circ;$$ $$2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ;$$ $$\cos 5^\circ = \cos 5^\circ;$$

Тождество доказано.

2.

$$\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = \sin 18^\circ;$$ $$-2 \cdot \sin \frac{12^\circ + 48^\circ}{2} \cdot \sin \frac{12^\circ — 48^\circ}{2} = \sin 18^\circ;$$ $$-2 \cdot \sin \frac{60^\circ}{2} \cdot \sin \left( \frac{-36^\circ}{2} \right) = \sin 18^\circ;$$ $$2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \sin 18^\circ = \sin 18^\circ;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = \sin 18^\circ;$$ $$\sin 18^\circ = \sin 18^\circ;$$

Тождество доказано.

1) Доказать:

$$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$$

ШАГ 1: Используем формулу суммы синусов

Формула:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 35^\circ$, $B = 25^\circ$:

$$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin \left( \frac{35^\circ + 25^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{35^\circ — 25^\circ}{2} \right)$$

ШАГ 2: Упростим аргументы

$$\frac{35^\circ + 25^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{35^\circ — 25^\circ}{2} = \frac{10^\circ}{2} = 5^\circ$$

ШАГ 3: Подставим значения

$$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos 5^\circ$$

ШАГ 4: Значения тригонометрических функций

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ$$

ШАГ 5: Результат

$$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$$

Тождество доказано.

2) Доказать:

$$\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$$

ШАГ 1: Используем формулу разности косинусов

Формула:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь $A = 12^\circ$, $B = 48^\circ$

ШАГ 2: Упростим аргументы

$$\frac{12^\circ + 48^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{12^\circ — 48^\circ}{2} = \frac{-36^\circ}{2} = -18^\circ$$

ШАГ 3: Подставим в формулу

$$\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = -2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \sin (-18^\circ)$$

ШАГ 4: Учтём, что $\sin(-x) = -\sin x$

$$= -2 \cdot \sin 30^\circ \cdot (-\sin 18^\circ) = 2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \sin 18^\circ$$

ШАГ 5: Подставим значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = \sin 18^\circ$$

ШАГ 6: Результат

$$\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$$

Тождество доказано.

Итог:

Обе части доказаны с использованием стандартных тригонометрических тождеств:

• $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A — B}{2}$
• $\cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A — B}{2}$